Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
f(x, y) = (x + a)^8 * y^(1/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariado! A gente precisa encontrar a diferencial total da função . Além disso, vamos calcular todas as derivadas de primeira e segunda ordem, incluindo as mistas. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de em relação a e a . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando variamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Derivada parcial em relação a :
Aqui, aplicamos a regra do poder para , diminuindo o expoente em 1 e multiplicando pelo coeficiente.
Derivada parcial em relação a :
Usamos a regra do poder novamente para .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso inclui as derivadas de segunda ordem puras (em relação a uma variável duas vezes) e as derivadas mistas (uma vez em relação a e outra a ).
Derivadas de segunda ordem puras:
Derivamos novamente em relação a .
Derivamos novamente em relação a .
Derivadas mistas:
Aqui, derivamos em relação a ou em relação a . Note que as derivadas mistas são iguais, o que é uma propriedade das funções bem comportadas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a diferencial total de . A diferencial total é uma aproximação linear da mudança em com base nas mudanças em e . Ela é dada por:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

A diferencial total de é:
As derivadas de primeira ordem são:
As derivadas de segunda ordem são:

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