Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariado! A gente precisa encontrar a diferencial total da função
. Além disso, vamos calcular todas as derivadas de primeira e segunda ordem, incluindo as mistas. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando variamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Derivada parcial em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra do poder para
, diminuindo o expoente em 1 e multiplicando pelo coeficiente.
Derivada parcial em relação a
:
Usamos a regra do poder novamente para
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso inclui as derivadas de segunda ordem puras (em relação a uma variável duas vezes) e as derivadas mistas (uma vez em relação a
e outra a
).
Derivadas de segunda ordem puras:
Derivamos
novamente em relação a
.
Derivamos
novamente em relação a
.
Derivadas mistas:
Aqui, derivamos
em relação a
ou
em relação a
. Note que as derivadas mistas são iguais, o que é uma propriedade das funções bem comportadas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a diferencial total de
. A diferencial total
é uma aproximação linear da mudança em
com base nas mudanças em
e
. Ela é dada por:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Resposta
A diferencial total de
é:
As derivadas de primeira ordem são:
As derivadas de segunda ordem são:
Exercícios relacionados
Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(a) Uma bóia sólida de altura e área transversal
está parcialmente submergida na água. A densidade da água,
, e a densidade do material da bóia,
, são conhecidas
. A bóia é tirada da posição de equilíbrio e começa a oscilar verticalmente, permanecendo sempre parte dela dentro da água.
Sabendo que a força de empuxo é igual a ao peso do fluído deslocado pela bóia, ache a equação diferencial que descreve as oscilações da bóia e daídetermine o período de oscilações.
(a) Uma bóia sólida de altura
Sabendo que a força de empuxo é igual a ao peso do fluído deslocado pela bóia, ache a equação diferencial que descreve as oscilações da bóia e daídetermine o período de oscilações.
Figura exercício 1 a)
Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
em que
e
, são constantes.
Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
para a seguinte função de duas variáveis
obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.