Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(a) Uma bóia sólida de altura e área transversal está parcialmente submergida na água. A densidade da água, , e a densidade do material da bóia, , são conhecidas . A bóia é tirada da posição de equilíbrio e começa a oscilar verticalmente, permanecendo sempre parte dela dentro da água.
Sabendo que a força de empuxo é igual a ao peso do fluído deslocado pela bóia, ache a equação diferencial que descreve as oscilações da bóia e daídetermine o período de oscilações.
Figura exercício 1 a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma bóia sólida com altura e área transversal que está parcialmente submersa na água. Sabemos as densidades da água () e do material da bóia (), e sabemos que , ou seja, a água é mais densa que a bóia. Quando tiramos a bóia da posição de equilíbrio, ela começa a oscilar verticalmente, sempre mantendo uma parte dentro da água.
O conteúdo que vamos usar aqui é da Dinâmica dos Fluidos, mais especificamente o princípio de Arquimedes sobre empuxo e as oscilações de sistemas elásticos. Precisamos entender como a força de empuxo e a força restauradora agem na bóia para modelar a oscilação e, assim, encontrar a equação diferencial que descreve esse movimento e determinar o período das oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Princípio de Arquimedes, que diz que a força de empuxo () é igual ao peso do fluido deslocado pela bóia. Matematicamente, podemos expressar isso como:
onde:
é a densidade da água,
é a aceleração da gravidade,
é o volume deslocado pela bóia.
Passo 3
Agora, vamos considerar que a bóia está oscilando verticalmente. Quando a bóia se move uma distância para cima ou para baixo em relação à posição de equilíbrio, o volume deslocado muda. Como a área transversal da bóia é , a variação do volume deslocado será:
Portanto, a força de empuxo que age sobre a bóia será:
Passo 4
A força de empuxo atua como uma força restauradora, ou seja, tenta trazer a bóia de volta à posição de equilíbrio. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Neste caso, a força restauradora é igual a . Então, temos:
Passo 5
Para encontrar a equação diferencial, vamos reorganizar a expressão acima:
Essa é a forma padrão de uma equação diferencial para um sistema oscilatório, onde:
Comparando as duas equações, identificamos que:
Passo 6
Para encontrar o período das oscilações (), usamos a relação entre a frequência angular () e o período:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Resposta
A equação diferencial que descreve as oscilações da bóia é: