Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
para a seguinte função de duas variáveis
obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de termodinâmica onde precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a mantendo a pressão constante. A função que relaciona , e é dada por:
Para resolver isso, vamos usar a regra cíclica e a regra recíproca das derivadas parciais, além de duas identidades importantes que nos ajudam a relacionar essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra cíclica das derivadas parciais, que diz:
E a regra recíproca, que nos diz que:
Essas regras vão nos ajudar a relacionar as derivadas que precisamos calcular.

Passo 3

Vamos identificar as variáveis envolvidas. Temos , e . Queremos . Podemos usar a regra cíclica para relacionar essa derivada com outras derivadas que podemos obter da função dada.

Passo 4

Aplicando a regra cíclica:
Nosso objetivo é encontrar , então precisamos calcular as outras duas derivadas.

Passo 5

Vamos calcular derivando a função em relação a mantendo constante:

Passo 6

Agora, precisamos calcular . Para isso, resolvemos a função em relação a :

Passo 7

Substituindo as derivadas encontradas na regra cíclica:

Passo 8

Vamos resolver a equação para :
Simplificando:

Passo 9

Simplificando ainda mais a expressão:
Continuando a simplificação:

Resposta

A derivada parcial de em relação a a pressão constante é:

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em que e , são constantes.
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Determine a solução geral das seguintes EDOs:
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