Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
para a seguinte função de duas variáveis
obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de termodinâmica onde precisamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
mantendo a pressão
constante. A função que relaciona
,
e
é dada por:
Para resolver isso, vamos usar a regra cíclica e a regra recíproca das derivadas parciais, além de duas identidades importantes que nos ajudam a relacionar essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra cíclica das derivadas parciais, que diz:
E a regra recíproca, que nos diz que:
Essas regras vão nos ajudar a relacionar as derivadas que precisamos calcular.
Passo 3
Vamos identificar as variáveis envolvidas. Temos
,
e
. Queremos
. Podemos usar a regra cíclica para relacionar essa derivada com outras derivadas que podemos obter da função dada.
Passo 4
Aplicando a regra cíclica:
Nosso objetivo é encontrar
, então precisamos calcular as outras duas derivadas.
Passo 5
Vamos calcular
derivando a função
em relação a
mantendo
constante:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Para isso, resolvemos a função
em relação a
:
Passo 7
Substituindo as derivadas encontradas na regra cíclica:
Passo 8
Vamos resolver a equação para
:
Simplificando:
Passo 9
Simplificando ainda mais a expressão:
Continuando a simplificação:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
a pressão constante é:
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Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
em que
e
, são constantes.
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Determine a solução geral das seguintes EDOs:
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