Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
(partial vpartial T)P
para a seguinte função de duas variáveis
p(T, v)=R Tv-b-av^2
obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de termodinâmica onde precisamos encontrar a derivada parcial de p(T, v) = R Tv - b - av^2 em relação a mantendo a pressão constante. A função que relaciona , e é dada por:
Para resolver isso, vamos usar a regra cíclica e a regra recíproca das derivadas parciais, além de duas identidades importantes que nos ajudam a relacionar essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra cíclica das derivadas parciais, que diz:
( partial xpartial y )z ( partial ypartial z )x ( partial zpartial x )y = -1
E a regra recíproca, que nos diz que:
( partial xpartial y )z = 1( partial ypartial x )z
Essas regras vão nos ajudar a relacionar as derivadas que precisamos calcular.

Passo 3

Vamos identificar as variáveis envolvidas. Temos , e . Queremos . Podemos usar a regra cíclica para relacionar essa derivada com outras derivadas que podemos obter da função dada.

Passo 4

Aplicando a regra cíclica:
( partial vpartial T )P ( partial Tpartial P )v ( partial Ppartial v )T = -1
Nosso objetivo é encontrar , então precisamos calcular as outras duas derivadas.

Passo 5

Vamos calcular ( partial Ppartial v )T = -R T(v - b)^2 + 2av^3 derivando a função em relação a mantendo constante:

Passo 6

Agora, precisamos calcular P = R Tv - b - av^2 Rightarrow partial Ppartial T = Rv - b Rightarrow ( partial Tpartial P )v = v - bR . Para isso, resolvemos a função em relação a :

Passo 7

Substituindo as derivadas encontradas na regra cíclica:
( partial vpartial T )P times v - bR times ( -R T(v - b)^2 + 2av^3 ) = -1

Passo 8

Vamos resolver a equação para ( partial vpartial T )P = -1v - bR times ( -R T(v - b)^2 + 2av^3 ) :
( partial vpartial T )P = (v - b)^2R T (v - b) - 2a (v - b)/v^3
Simplificando:

Passo 9

Simplificando ainda mais a expressão:
( partial vpartial T )P = (v - b)^2R T (v - b)^2/(v - b) - 2a/v^3 times (v - b)
Continuando a simplificação:
( partial vpartial T )P = (v - b)^2R T - 2a(v - b)v^3

Resposta

A derivada parcial de ( partial vpartial T )P = (v - b)^2R T - 2a(v - b)v^3 em relação a a pressão constante é:

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