Determine a solução geral das seguintes EDOs:

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:

Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre EDOs de segunda ordem e métodos para resolver equações não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar a primeira derivada de de , ou seja:

Então, a segunda derivada é a derivada de em relação a :
Substituindo na EDO original, temos:

Passo 3

Agora, nossa equação ficou de primeira ordem em :

Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis e para integrar.

Passo 4

Vamos separar as variáveis:

Agora, vamos integrar os dois lados da equação.

Passo 5

A integral do lado esquerdo é:

Onde é a constante de integração.
A integral do lado direito é simplesmente:

Passo 6

Igualando as integrais, temos:

Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é uma nova constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para :

Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Lembrando que , temos:

Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar .

Passo 9

Integrando ambos os lados:

Onde é outra constante de integração.

Passo 10

Fazendo a substituição , temos ou . A integral fica:

Sabemos que , onde é uma constante.

Passo 11

Substituindo de volta:

Podemos simplificar as constantes, reunindo e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da EDO é:

Onde é uma constante arbitrária.

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Determine a solução geral das seguintes EDOs:
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