Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre EDOs de segunda ordem e métodos para resolver equações não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar a primeira derivada de
de
, ou seja:
Então, a segunda derivada
Substituindo na EDO original, temos:
Passo 3
Agora, nossa equação ficou de primeira ordem em
:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis
Passo 4
Vamos separar as variáveis:
Agora, vamos integrar os dois lados da equação.
Passo 5
A integral do lado esquerdo é:
Onde
A integral do lado direito é simplesmente:
Passo 6
Igualando as integrais, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
é uma nova constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
Passo 10
Fazendo a substituição
, temos
ou
. A integral fica:
Sabemos que
Passo 11
Substituindo de volta:
Podemos simplificar as constantes, reunindo
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
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Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
para a seguinte função de duas variáveis
obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.
Determine a diferencial total das seguintes funções multivariadas e em seguida escreva cada uma das derivadas de primeira e segunda ordem incluindo as derivadas mistas:
em que
e
, são constantes.
Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Determine a solução geral das seguintes EDOs: