Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de
:
e
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que trabalhar com subespaços vetoriais dentro de
, que é o conjunto de todas as matrizes
com números reais. Precisamos determinar a dimensão e encontrar uma base para o subespaço formado pelas matrizes que satisfazem as condições
e
. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, como liberdade de variáveis e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a forma geral de uma matriz
em
:
Aqui,
são números reais que podem assumir qualquer valor.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições dadas pelo problema:
Essas equações nos mostram que nem todos os elementos da matriz são independentes; alguns são dependentes de outros.
Passo 4
Substituindo as condições na matriz geral, temos:
Agora, a matriz está expressa em termos de apenas duas variáveis livres:
e
.
Passo 5
Para encontrar uma base, vamos expressar a matriz como uma combinação linear das variáveis livres
e
:
Isso mostra que qualquer matriz desse subespaço pode ser construída combinando essas duas matrizes com coeficientes
e
.
Passo 6
Como temos duas variáveis livres (
e
), a dimensão do subespaço é 2. Além disso, as duas matrizes usadas na combinação linear são linearmente independentes, formando assim uma base para o subespaço.
Resposta
A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é formada pelas matrizes