Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2(R) :
(lla & b c & d) ; c=a-3 b e d=0;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que trabalhar com subespaços vetoriais dentro de , que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. Precisamos determinar a dimensão e encontrar uma base para o subespaço formado pelas matrizes que satisfazem as condições e . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, como liberdade de variáveis e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a forma geral de uma matriz a & b c & d em :
Aqui, são números reais que podem assumir qualquer valor.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições dadas pelo problema:
Essas equações nos mostram que nem todos os elementos da matriz são independentes; alguns são dependentes de outros.

Passo 4

Substituindo as condições na matriz geral, temos:
a & b a - 3b & 0
Agora, a matriz está expressa em termos de apenas duas variáveis livres: e .

Passo 5

Para encontrar uma base, vamos expressar a matriz como uma combinação linear das variáveis livres a & b a - 3b & 0 = a 1 & 0 1 & 0 + b 0 & 1 -3 & 0 e :
Isso mostra que qualquer matriz desse subespaço pode ser construída combinando essas duas matrizes com coeficientes e .

Passo 6

Como temos duas variáveis livres ( e ), a dimensão do subespaço é 2. Além disso, as duas matrizes usadas na combinação linear são linearmente independentes, formando assim uma base para o subespaço.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é formada pelas matrizes
1 & 0 1 & 0 e 0 & 1 -3 & 0

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