Determine a dimensão e uma base para o espaço W das soluções do sistema de equações lineares
l x+2 y-4 z+3 r-s=0 x+2 y-2 z+2 r+s=0 2 x+4 y-2 z+3 r+4 s=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e precisa descobrir a dimensão e uma base para o espaço das soluções desse sistema, que chamamos de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, operações de linha e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz aumentada. Isso facilita a visualização e a aplicação das operações necessárias para simplificar o sistema.
1 & 2 & -4 & 3 & -1 & | & 0 1 & 2 & -2 & 2 & 1 & | & 0 2 & 4 & -2 & 3 & 4 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar as variáveis livres e as variáveis dependentes.
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o 1 & 2 & -4 & 3 & -1 & | & 0 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 6 & -3 & 6 & | & 0 :

Passo 4

Agora, simplificamos a terceira linha dividindo por 6:
1 & 2 & -4 & 3 & -1 & | & 0 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 1 & -0.5 & 1 & | & 0
Em seguida, usamos a terceira linha para eliminar o 1 & 2 & -4 & 3 & -1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & -0.5 & 1 & | & 0 da segunda linha:

Passo 5

Agora, podemos escrever as equações correspondentes:
x + 2y - 4z + 3r - s = 0 z - 0.5r + s = 0
Vamos resolver a segunda equação para z = 0.5r - s :
x + 2y - 4(0.5r - s) + 3r - s = 0 x + 2y - 2r + 4s + 3r - s = 0 x + 2y + r + 3s = 0 x = -2y - r - 3s
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 6

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de x = -2y - r - 3s z = 0.5r - s y = y r = r s = s , (x, y, z, r, s) = y(-2, 1, 0, 0, 0) + r(-1, 0, 0.5, 1, 0) + s(-3, 0, -1, 0, 1) e :
Podemos escolher , e como variáveis livres. Assim, a solução geral fica:

Resposta

A dimensão do espaço -2 1 0 0 0 , -1 0 0.5 1 0 , -3 0 -1 0 1 é 3 e uma base para é formada pelos vetores:

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