Determine a dimensão e uma base para o espaço das soluções do sistema de equações lineares

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e precisa descobrir a dimensão e uma base para o espaço das soluções desse sistema, que chamamos de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, operações de linha e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz aumentada. Isso facilita a visualização e a aplicação das operações necessárias para simplificar o sistema.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar as variáveis livres e as variáveis dependentes.
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o :

Passo 4

Agora, simplificamos a terceira linha dividindo por 6:
Em seguida, usamos a terceira linha para eliminar o da segunda linha:

Passo 5

Agora, podemos escrever as equações correspondentes:
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 6

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de , e :
Podemos escolher , e como variáveis livres. Assim, a solução geral fica:

Resposta

A dimensão do espaço é 3 e uma base para é formada pelos vetores:

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Sejam e bases do . Determine a matriz mudança de base
Qual é a transformação linear tal que e ?
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$(b) $Se é uma matriz diagonal, então é uma matriz diagonal.
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$(b) $Encontre (se for possível) uma matriz tal que .