Determine a dimensão e uma base para o espaço das soluções do sistema de equações lineares
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e precisa descobrir a dimensão e uma base para o espaço das soluções desse sistema, que chamamos de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, operações de linha e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz aumentada. Isso facilita a visualização e a aplicação das operações necessárias para simplificar o sistema.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar as variáveis livres e as variáveis dependentes.
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o :
Passo 4
Agora, simplificamos a terceira linha dividindo por 6:
Em seguida, usamos a terceira linha para eliminar o da segunda linha:
Passo 5
Agora, podemos escrever as equações correspondentes:
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na primeira equação:
Passo 6
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de , e :
Podemos escolher , e como variáveis livres. Assim, a solução geral fica:
Resposta
A dimensão do espaço é 3 e uma base para é formada pelos vetores: