Seja a matriz
$(b) $Encontre (se for possível) uma matriz tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma matriz que, ao ser multiplicada por ela mesma ( ), resulte na matriz . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se é possível encontrar tal matriz . Para isso, vamos analisar as propriedades da matriz . Uma abordagem comum é verificar os autovalores de , pois se puder ser diagonalizada, isso facilitará encontrar sua raiz quadrada.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando a determinante:

Passo 5

Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, podemos diagonalizar se encontrarmos dois autovetores linearmente independentes correspondentes a esses autovalores. Supondo que seja diagonalizável, podemos escrever:
Onde é a matriz diagonal com os autovalores e é a matriz cujas colunas são os autovetores de .

Passo 7

Para encontrar tal que , podemos definir:
Onde é a matriz diagonal cujos elementos são as raízes quadradas dos autovalores de :

Passo 8

Calculando as raízes quadradas dos autovalores:
Essas expressões podem ser simplificadas, mas para mantermos a clareza, vamos deixá-las dessa forma.

Passo 9

Finalmente, substituímos na expressão de :
Essa é uma das matrizes que satisfazem , assumindo que é diagonalizável.

Resposta

Uma matriz que satisfaz é dada por:
onde é a matriz formada pelos autovetores de .

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