Seja a matriz
$(b) $Encontre (se for possível) uma matriz tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma matriz que, ao ser multiplicada por ela mesma (), resulte na matriz . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se é possível encontrar tal matriz . Para isso, vamos analisar as propriedades da matriz . Uma abordagem comum é verificar os autovalores de , pois se puder ser diagonalizada, isso facilitará encontrar sua raiz quadrada.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade.
Passo 4
Calculando a determinante:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são e .
Passo 6
Agora que temos os autovalores, podemos diagonalizar se encontrarmos dois autovetores linearmente independentes correspondentes a esses autovalores. Supondo que seja diagonalizável, podemos escrever:
Onde é a matriz diagonal com os autovalores e é a matriz cujas colunas são os autovetores de .
Passo 7
Para encontrar tal que , podemos definir:
Onde é a matriz diagonal cujos elementos são as raízes quadradas dos autovalores de :
Passo 8
Calculando as raízes quadradas dos autovalores:
Essas expressões podem ser simplificadas, mas para mantermos a clareza, vamos deixá-las dessa forma.
Passo 9
Finalmente, substituímos na expressão de :
Essa é uma das matrizes que satisfazem , assumindo que é diagonalizável.