Seja a matriz
$(b) $Encontre (se for possível) uma matriz
tal que
.
$(b) $Encontre (se for possível) uma matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma matriz
que, ao ser multiplicada por ela mesma (
), resulte na matriz
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se é possível encontrar tal matriz
. Para isso, vamos analisar as propriedades da matriz
. Uma abordagem comum é verificar os autovalores de
, pois se
puder ser diagonalizada, isso facilitará encontrar sua raiz quadrada.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Calculando a determinante:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora que temos os autovalores, podemos diagonalizar
se encontrarmos dois autovetores linearmente independentes correspondentes a esses autovalores. Supondo que
seja diagonalizável, podemos escrever:
Onde
é a matriz diagonal com os autovalores e
é a matriz cujas colunas são os autovetores de
.
Passo 7
Para encontrar
tal que
, podemos definir:
Onde
é a matriz diagonal cujos elementos são as raízes quadradas dos autovalores de
:
Passo 8
Calculando as raízes quadradas dos autovalores:
Essas expressões podem ser simplificadas, mas para mantermos a clareza, vamos deixá-las dessa forma.
Passo 9
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Essa é uma das matrizes
que satisfazem
, assumindo que
é diagonalizável.
Resposta
Uma matriz
que satisfaz
é dada por:
onde
é a matriz formada pelos autovetores de
.