Verdadeiro ou falso? Justifique.
$(b) $Se (b) é uma matriz diagonal, então A é uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se for verdadeira ou falsa a afirmação de que, se é uma matriz diagonal, então a sua transposta também é uma matriz diagonal. Vamos usar conceitos de matrizes e transposição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo, uma matriz diagonal A = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c de ordem 3 fica assim:
Aqui, apenas os elementos , e estão na diagonal principal, e todos os outros são zero.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando a gente transpõe a matriz A^t = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c . A transposta de uma matriz, denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, se transpusermos a matriz que temos:

Passo 4

Perceba que, ao transpor a matriz diagonal , a matriz transposta mantém os mesmos elementos na diagonal principal e continua com zeros fora dela. Ou seja, também é uma matriz diagonal.

Resposta

Verdadeiro. Se é uma matriz diagonal, então também é uma matriz diagonal.

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