Verdadeiro ou falso? Justifique.
$(b) $Se é uma matriz diagonal, então é uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se for verdadeira ou falsa a afirmação de que, se é uma matriz diagonal, então a sua transposta também é uma matriz diagonal. Vamos usar conceitos de matrizes e transposição para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo, uma matriz diagonal de ordem 3 fica assim:
Aqui, apenas os elementos , e estão na diagonal principal, e todos os outros são zero.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando a gente transpõe a matriz . A transposta de uma matriz, denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, se transpusermos a matriz que temos:
Passo 4
Perceba que, ao transpor a matriz diagonal , a matriz transposta mantém os mesmos elementos na diagonal principal e continua com zeros fora dela. Ou seja, também é uma matriz diagonal.
Resposta
Verdadeiro. Se é uma matriz diagonal, então também é uma matriz diagonal.