Qual é a transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(3,1)=(2,-4) e T(1,1)= (0,2) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente precisa achar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes que representam transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear a & b c & d em pode ser representada por uma matriz . Ou seja, se .

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas no problema para montar um sistema de equações. Sabemos que:
T(3,1) = (2,-4) e T(1,1) = (0,2)
Isso nos dá duas equações para cada componente da transformação.

Passo 4

Aplicando a cdot 3 + b cdot 1 = 2 Rightarrow 3a + b = 2 :
c cdot 3 + d cdot 1 = -4 Rightarrow 3c + d = -4

Passo 5

Aplicando a cdot 1 + b cdot 1 = 0 Rightarrow a + b = 0 :
c cdot 1 + d cdot 1 = 2 Rightarrow c + d = 2

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar 3a + b - (a + b) = 2 - 0 Rightarrow 2a = 2 Rightarrow a = 1 e .
Primeiro, das equações e , subtraímos a segunda da primeira:
Então, .

Passo 7

Agora, das equações 3c + d - (c + d) = -4 - 2 Rightarrow 2c = -6 Rightarrow c = -3 e , subtraímos a segunda da primeira:
Então, .

Resposta

A transformação linear T = 1 & -1 -3 & 5 é dada pela matriz:

Exercícios relacionados