Qual é a transformação linear
tal que
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente precisa achar uma transformação linear
que transforma os vetores
em
e
em
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes que representam transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
em
pode ser representada por uma matriz
. Ou seja, se
.
Passo 3
Agora, vamos usar as informações dadas no problema para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Isso nos dá duas equações para cada componente da transformação.
Passo 4
Aplicando
:
Passo 5
Aplicando
:
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, das equações
e
, subtraímos a segunda da primeira:
Então,
.
Passo 7
Agora, das equações
e
, subtraímos a segunda da primeira:
Então,
.
Resposta
A transformação linear
é dada pela matriz:
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique se os conjuntos
abaixo são ou não subespaços de
:
tal que
Seja
. Verifique se os conjuntos
abaixo são ou não subespaços de
:
Sejam
e
bases do
. Determine a matriz mudança de base
Determine a dimensão e uma base para o espaço
das soluções do sistema de equações lineares