Qual é a transformação linear tal que e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear! A gente precisa achar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes que representam transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear em pode ser representada por uma matriz . Ou seja, se .

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas no problema para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Isso nos dá duas equações para cada componente da transformação.

Passo 4

Aplicando :

Passo 5

Aplicando :

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, das equações e , subtraímos a segunda da primeira:
Então, .

Passo 7

Agora, das equações e , subtraímos a segunda da primeira:
Então, .

Resposta

A transformação linear é dada pela matriz:

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