Sejam
e
bases do
. Determine a matriz mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear que envolve mudança de base. Temos duas bases no plano
:
- Base
: - Base
:
O que a gente precisa fazer é encontrar a matriz de mudança de base de
para
, denotada por
. Isso vai nos ajudar a converter coordenadas de um sistema de base para o outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se a gente tem duas bases,
e
, a matriz
é aquela que transforma as coordenadas de um vetor na base
para as coordenadas na base
.
Para construir essa matriz, a gente precisa expressar cada vetor da base
em termos dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor da base
, que é
. Queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, as coordenadas de
na base
são:
Passo 5
Vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor da base
, que é
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso nos dá o sistema:
Passo 6
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, as coordenadas de
na base
são:
Passo 7
Agora que temos as coordenadas dos vetores da base
na base
, podemos construir a matriz de mudança de base
. Cada coluna dessa matriz será composta pelas coordenadas de cada vetor de
na base
.
Então, temos:
Resposta
A matriz de mudança de base
é: