Sejam e bases do . Determine a matriz mudança de base

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear que envolve mudança de base. Temos duas bases no plano :
  • Base :
  • Base :
O que a gente precisa fazer é encontrar a matriz de mudança de base de para , denotada por . Isso vai nos ajudar a converter coordenadas de um sistema de base para o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se a gente tem duas bases, e , a matriz é aquela que transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base .
Para construir essa matriz, a gente precisa expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor da base , que é . Queremos encontrar coeficientes e tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor da base , que é . Queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o sistema:

Passo 6

Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 7

Agora que temos as coordenadas dos vetores da base na base , podemos construir a matriz de mudança de base . Cada coluna dessa matriz será composta pelas coordenadas de cada vetor de na base .
Então, temos:

Resposta

A matriz de mudança de base é:

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