Sejam alpha=(-1,1),(1,1) e beta=(raiz3, 1),(raiz3,-1) bases do R^2. Determine a matriz mudança de base [I]beta^alpha

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear que envolve mudança de base. Temos duas bases no plano :
  • Base :
  • Base :
O que a gente precisa fazer é encontrar a matriz de mudança de base de para , denotada por . Isso vai nos ajudar a converter coordenadas de um sistema de base para o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se a gente tem duas bases, e , a matriz é aquela que transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base .
Para construir essa matriz, a gente precisa expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor da base (raiz3, 1) = x cdot (-1, 1) + y cdot (1, 1) , que é raiz3 = -x + y 1 = x + y . Queremos encontrar coeficientes e tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 1 = x + y Rightarrow x = 1 - y e raiz3 = - (1 - y) + y raiz3 = -1 + y + y raiz3 + 1 = 2y y = raiz3 + 12 .
Da segunda equação:
x = 1 - raiz3 + 12 = 2 - raiz3 - 12 = 1 - raiz32
Substituindo na primeira equação:
( 1 - raiz32, raiz3 + 12 )
Então:
Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor da base (raiz3, -1) = x cdot (-1, 1) + y cdot (1, 1) , que é raiz3 = -x + y -1 = x + y . Queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o sistema:

Passo 6

Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
-1 = x + y Rightarrow x = -1 - y
Substituindo na primeira equação:
raiz3 = -(-1 - y) + y raiz3 = 1 + y + y raiz3 - 1 = 2y y = raiz3 - 12
Então:
x = -1 - raiz3 - 12 = -2 - raiz3 + 12 = -1 - raiz32
Portanto, as coordenadas de ( -1 - raiz32, raiz3 - 12 ) na base são:

Passo 7

Agora que temos as coordenadas dos vetores da base [I]beta^alpha = 1 - raiz32 & -1 - raiz32 raiz3 + 12 & raiz3 - 12 na base , podemos construir a matriz de mudança de base . Cada coluna dessa matriz será composta pelas coordenadas de cada vetor de na base .
Então, temos:

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta^alpha = 1 - raiz32 & -1 - raiz32 raiz3 + 12 & raiz3 - 12 é:

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