Determine a dimensão e uma base para o subespaço
.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a dimensão e uma base para o conjunto
dentro de
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, dimensão e base. Vamos precisar entender o que é um subespaço, como identificar uma base e como calcular a dimensão a partir daí.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto
. Aqui, temos que
é igual a
, então a gente pode reescrever qualquer vetor nesse conjunto como
. Isso simplifica a gente a ver que os vetores têm duas variáveis livres:
e
.
Passo 3
Agora, para achar uma base, precisamos encontrar vetores que possam gerar todos os vetores do subespaço e que sejam linearmente independentes. Observando
, podemos escrever isso como
. Assim, os vetores
e
parecem ser candidatos a base.
Passo 4
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vemos se a única solução para
é
e
. De fato, isso acontece porque a primeira e segunda coordenadas nos d��o
, e a terceira coordenada nos dá
. Então, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos dois vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço, esses vetores formam uma base para o conjunto
. A dimensão do subespaço é o número de vetores na base, que aqui é 2.
Resposta
A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é
.