Determine a dimensão e uma base para o subespaço (x, y, z) ; y=x subset R^3.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a dimensão e uma base para o conjunto (x, y, z) ; y = x dentro de R^3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, dimensão e base. Vamos precisar entender o que é um subespaço, como identificar uma base e como calcular a dimensão a partir daí.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto (x, y, z) ; y = x. Aqui, temos que y é igual a x, então a gente pode reescrever qualquer vetor nesse conjunto como (x, x, z). Isso simplifica a gente a ver que os vetores têm duas variáveis livres: x e z.

Passo 3

Agora, para achar uma base, precisamos encontrar vetores que possam gerar todos os vetores do subespaço e que sejam linearmente independentes. Observando (x, x, z), podemos escrever isso como x(1, 1, 0) + z(0, 0, 1). Assim, os vetores (1, 1, 0) e (0, 0, 1) parecem ser candidatos a base.

Passo 4

Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vemos se a única solução para a(1, 1, 0) + b(0, 0, 1) = (0, 0, 0) é a = 0 e b = 0. De fato, isso acontece porque a primeira e segunda coordenadas nos d��o a = 0, e a terceira coordenada nos dá b = 0. Então, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos dois vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço, esses vetores formam uma base para o conjunto (x, y, z) ; y = x. A dimensão do subespaço é o número de vetores na base, que aqui é 2.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é , (1, 1, 0), (0, 0, 1) ,.

Exercícios relacionados