Dê exemplo de uma transformação linear , cujo núcleo é a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um exemplo de uma transformação linear cujo núcleo é a reta definida por e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos. Para resolver, vamos precisar entender como construir uma matriz que represente essa transformação linear com o núcleo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores tais que . No nosso caso, queremos que o núcleo seja a reta e , ou seja, os vetores dessa forma são .
Passo 3
Para encontrar a matriz que representa a transformação , precisamos que todo vetor no núcleo seja mapeado para o vetor zero. Isso significa que a matriz multiplicada por qualquer vetor deve resultar em .
Passo 4
Vamos construir uma matriz que satisfaça essa condição. Suponha que seja uma matriz com linhas . Então, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Como queremos que essas equações valham para todo x cdot ( a11 + 13a12 ) = 0 x cdot ( a21 + 13a22 ) = 0 x cdot ( a31 + 13a32 ) = 0 , podemos fatorar a11 + 13a12 = 0 a21 + 13a22 = 0 a31 + 13a32 = 0 :
Para que isso seja verdade para todo , os coeficientes devem ser zero:
Passo 6
Podemos resolver essas equações para os elementos da matriz . Por exemplo, podemos expressar , , e .
Passo 7
Agora, escolhemos valores para e livremente, já que eles não afetam o núcleo. Para simplificar, vamos escolher , , , e .
Passo 8
Substituindo esses valores, temos:
a11 = -13 times 3 = -1 a21 = -13 times 0 = 0 a31 = -13 times 0 = 0