Dê exemplo de uma transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3, cujo núcleo é a reta y=13 x, z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um exemplo de uma transformação linear cujo núcleo é a reta definida por e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos. Para resolver, vamos precisar entender como construir uma matriz que represente essa transformação linear com o núcleo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores tais que . No nosso caso, queremos que o núcleo seja a reta e , ou seja, os vetores dessa forma são .

Passo 3

Para encontrar a matriz que representa a transformação , precisamos que todo vetor no núcleo seja mapeado para o vetor zero. Isso significa que a matriz multiplicada por qualquer vetor deve resultar em .

Passo 4

Vamos construir uma matriz A cdot x 13x 0 = 0 0 0 que satisfaça essa condição. Suponha que a1 cdot x 13x 0 = 0 a2 cdot x 13x 0 = 0 a3 cdot x 13x 0 = 0 seja uma matriz com linhas . Então, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Como queremos que essas equações valham para todo x cdot ( a11 + 13a12 ) = 0 x cdot ( a21 + 13a22 ) = 0 x cdot ( a31 + 13a32 ) = 0 , podemos fatorar a11 + 13a12 = 0 a21 + 13a22 = 0 a31 + 13a32 = 0 :
Para que isso seja verdade para todo , os coeficientes devem ser zero:

Passo 6

Podemos resolver essas equações para os elementos da matriz . Por exemplo, podemos expressar , , e .

Passo 7

Agora, escolhemos valores para e livremente, já que eles não afetam o núcleo. Para simplificar, vamos escolher , , , e .

Passo 8

Substituindo esses valores, temos:
a11 = -13 times 3 = -1 a21 = -13 times 0 = 0 a31 = -13 times 0 = 0

Passo 9

Então, a matriz A = -1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 fica:

Resposta

Um exemplo de transformação linear com o núcleo T(v) = A v = -1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 x y z = -x + 3y 0 0 e é dada pela matriz:

Exercícios relacionados