Se
e
são autovalores da matriz
, e se
,
e
são
vetores de
, não nulos, que satisfazem
determine o espaço gerado pelos vetores
e
vetores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear que fala sobre autovalores e autovetores de uma matriz
de ordem
. O enunciado nos dá três autovalores
,
e
, junto com três vetores não nulos
,
e
que satisfazem
para cada
. Nosso objetivo é determinar o espaço gerado por esses três vetores, ou seja, descobrir qual conjunto de vetores podemos obter combinando
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço gerado por um conjunto de vetores. O espaço gerado por
,
e
é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Em outras palavras, qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como
, onde
,
e
são números reais.
Passo 3
Para determinar qual é esse espaço, precisamos verificar se os vetores
,
e
são linearmente independentes. Se eles forem, o espaço gerado por eles será todo o
. Já se algum deles puder ser escrito como combinação dos outros, o espaço será uma subárea menor, como um plano ou uma linha.
Passo 4
Sabemos de um conceito importante da Álgebra Linear: se uma matriz
tem três autovalores distintos e cada um está associado a um autovetor não nulo, então esses autovetores são linearmente independentes. Isso acontece porque autovetores correspondentes a diferentes autovalores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
Passo 5
No nosso caso, os autovalores
,
e
são todos diferentes. Isso significa que os vetores
,
e
são linearmente independentes.
Resposta
O espaço gerado pelos vetores
,
e
é todo o
.