Se lambda1=13, lambda2=-13 e lambda3=2 são autovalores da matriz A in M(3 times 3), e se v1, v2 e v3 são
vetores de R^3, não nulos, que satisfazem
A v1=lambda1 v1, A v2=lambda2 v2, A v3=lambda3 v3
determine o espaço gerado pelos vetores v1, v2 e v3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear que fala sobre autovalores e autovetores de uma matriz de ordem . O enunciado nos dá três autovalores , e , junto com três vetores não nulos , e que satisfazem para cada . Nosso objetivo é determinar o espaço gerado por esses três vetores, ou seja, descobrir qual conjunto de vetores podemos obter combinando , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço gerado por um conjunto de vetores. O espaço gerado por , e é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Em outras palavras, qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como , onde , e são números reais.

Passo 3

Para determinar qual é esse espaço, precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Se eles forem, o espaço gerado por eles será todo o . Já se algum deles puder ser escrito como combinação dos outros, o espaço será uma subárea menor, como um plano ou uma linha.

Passo 4

Sabemos de um conceito importante da Álgebra Linear: se uma matriz tem três autovalores distintos e cada um está associado a um autovetor não nulo, então esses autovetores são linearmente independentes. Isso acontece porque autovetores correspondentes a diferentes autovalores não podem ser combinações lineares uns dos outros.

Passo 5

No nosso caso, os autovalores , e são todos diferentes. Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes.

Resposta

O espaço gerado pelos vetores , e é todo o .

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