Determine a dimensão e encontre uma base do espaço-solução do sistema
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço solução do sistema de equações:
x - 3y + z = 0 2x - 6y + 2z = 0 3x - 9y + 3z = 0
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que são conjuntos de equações lineares que queremos resolver juntas. Para encontrar a dimensão e uma base do espaço solução, vamos precisar resolver o sistema e identificar as soluções possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que junta os coeficientes das variáveis e as constantes:
A ideia aqui é usar operações elementares de linha para simplificar a matriz e encontrar as soluções do sistema.
Passo 3
Vamos simplificar a matriz. Observamos que a segunda linha é o dobro da primeira e a terceira linha é o triplo da primeira. Isso significa que todas as linhas são múltiplos umas das outras, então o sistema possui equações dependentes. Vamos reduzir para a forma mais simples possível:
Com a matriz simplificada, temos apenas uma equação independente:
x - 3y + z = 0
Isso significa que temos duas variáveis livres. Vamos escolher duas variáveis para expressar as demais. Por conveniência, podemos escolher e como variáveis livres.
Passo 5
Vamos expressar x = 3y - z em termos de x = 3y - z y = y z = z e :
Agora, podemos escrever as soluções do sistema em termos de e :
Passo 6
Para encontrar a base do espaço solução, precisamos identificar vetores que representem as soluções gerais. Podemos parametrizar as soluções de acordo com x y z = y 3 1 0 + z -1 0 1 e 3 1 0 e -1 0 1 :
Assim, os vetores
formam uma base para o espaço solução.
Passo 7
A dimensão do espaço solução é igual ao número de vetores na base, que neste caso são 2. Isso quer dizer que o espaço solução é um subespaço vetorial de dimensão 2.
Resposta
A dimensão do espaço solução é 2 e uma base para esse espaço é formada pelos vetores