Determine a dimensão e encontre uma base do espaço-solução do sistema
cx-3 y+z=0 2 x-6 y+2 z=0 3 x-9 y+3 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço solução do sistema de equações:
x - 3y + z = 0 2x - 6y + 2z = 0 3x - 9y + 3z = 0
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que são conjuntos de equações lineares que queremos resolver juntas. Para encontrar a dimensão e uma base do espaço solução, vamos precisar resolver o sistema e identificar as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que junta os coeficientes das variáveis e as constantes:
1 & -3 & 1 & | & 0 2 & -6 & 2 & | & 0 3 & -9 & 3 & | & 0
A ideia aqui é usar operações elementares de linha para simplificar a matriz e encontrar as soluções do sistema.

Passo 3

Vamos simplificar a matriz. Observamos que a segunda linha é o dobro da primeira e a terceira linha é o triplo da primeira. Isso significa que todas as linhas são múltiplos umas das outras, então o sistema possui equações dependentes. Vamos reduzir para a forma mais simples possível:
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
1 & -3 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 3 & -9 & 3 & | & 0
Agora, subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira:
1 & -3 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 4

Com a matriz simplificada, temos apenas uma equação independente:
x - 3y + z = 0
Isso significa que temos duas variáveis livres. Vamos escolher duas variáveis para expressar as demais. Por conveniência, podemos escolher e como variáveis livres.

Passo 5

Vamos expressar x = 3y - z em termos de x = 3y - z y = y z = z e :
Agora, podemos escrever as soluções do sistema em termos de e :

Passo 6

Para encontrar a base do espaço solução, precisamos identificar vetores que representem as soluções gerais. Podemos parametrizar as soluções de acordo com x y z = y 3 1 0 + z -1 0 1 e 3 1 0 e -1 0 1 :
Assim, os vetores
formam uma base para o espaço solução.

Passo 7

A dimensão do espaço solução é igual ao número de vetores na base, que neste caso são 2. Isso quer dizer que o espaço solução é um subespaço vetorial de dimensão 2.

Resposta

A dimensão do espaço solução é 2 e uma base para esse espaço é formada pelos vetores
3 1 0 e -1 0 1

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