Seja é uma matriz de ordem . Mostre que e são matrizes simétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que, se é uma matriz de ordem , então os produtos e são matrizes simétricas. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre propriedades de matrizes e transpostas. Para resolver isso, vamos usar a definição de matriz simétrica e propriedades da transposta de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na posição é igual ao elemento na posição para todos os e .
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto . Queremos mostrar que . Para isso, usamos a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que . Aplicando isso, temos:
Passo 4
Lembrando que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, ou seja, . Substituindo na equação anterior:
Isso mostra que é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para . Queremos mostrar que . Usando novamente a propriedade da transposta do produto:
Passo 6
Novamente, . Portanto:
Isso confirma que também é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.
Resposta
Portanto, mostramos que tanto quanto são matrizes simétricas.