Seja A é uma matriz de ordem n. Mostre que A A^t e A^t A são matrizes simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que, se é uma matriz de ordem , então os produtos e são matrizes simétricas. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre propriedades de matrizes e transpostas. Para resolver isso, vamos usar a definição de matriz simétrica e propriedades da transposta de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na posição é igual ao elemento na posição para todos os e .

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto (A A^t)^t = (A^t)^t A^t . Queremos mostrar que . Para isso, usamos a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Lembrando que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, ou seja, (A A^t)^t = A A^t . Substituindo na equação anterior:
Isso mostra que é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para (A^t A)^t = A^t (A^t)^t . Queremos mostrar que . Usando novamente a propriedade da transposta do produto:

Passo 6

Novamente, (A^t A)^t = A^t A . Portanto:
Isso confirma que também é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.

Resposta

Portanto, mostramos que tanto quanto são matrizes simétricas.

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