Seja
é uma matriz de ordem
. Mostre que
e
são matrizes simétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que, se
é uma matriz de ordem
, então os produtos
e
são matrizes simétricas. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre propriedades de matrizes e transpostas. Para resolver isso, vamos usar a definição de matriz simétrica e propriedades da transposta de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que o elemento na posição
é igual ao elemento na posição
para todos os
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto
. Queremos mostrar que
. Para isso, usamos a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que
. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Lembrando que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, ou seja,
. Substituindo na equação anterior:
Isso mostra que
é igual à sua transposta, ou seja,
é simétrica.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Queremos mostrar que
. Usando novamente a propriedade da transposta do produto:
Passo 6
Novamente,
. Portanto:
Isso confirma que
também é igual à sua transposta, ou seja,
é simétrica.
Resposta
Portanto, mostramos que tanto
quanto
são matrizes simétricas.