Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial .
(g) e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . O subconjunto é formado pelas matrizes que satisfazem . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço de .
Para isso, precisamos conhecer alguns conceitos básicos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Um subespaço deve atender a três condições:
Conter o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Passo 2
1. Verificar se o vetor zero está em :
A matriz zero é uma matriz com todos os elementos iguais a zero. Vamos ver se satisfaz .
Portanto, está em .
Passo 3
2. Verificar se é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer e em , ou seja, e . Queremos saber se .
Calculando :
Para que , seria necessário que . No entanto, isso nem sempre acontece para matrizes quaisquer e que satisfazem e . Portanto, a condição não é garantida.
Passo 4
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz em e um escalar . Queremos verificar se .
Para que , precisaríamos que . Isso implica que , ou seja, . Portanto, isso só é válido se ou . Para outros valores de , a igualdade não se mantém.
Resposta
Como não é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar (exceto para casos específicos), o conjunto não é um subespaço do espaço vetorial .