Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(g) V=M2 e S=A in M2: A^2=A

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . O subconjunto é formado pelas matrizes que satisfazem . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço de .
Para isso, precisamos conhecer alguns conceitos básicos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Um subespaço deve atender a três condições:
  1. Conter o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 2

1. Verificar se o vetor zero está em O^2 = O times O = O :
A matriz zero é uma matriz com todos os elementos iguais a zero. Vamos ver se satisfaz .
Portanto, está em .

Passo 3

2. Verificar se (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A + AB + BA + B é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer e em , ou seja, e . Queremos saber se .
Calculando :
Para que , seria necessário que . No entanto, isso nem sempre acontece para matrizes quaisquer e que satisfazem e . Portanto, a condição não é garantida.

Passo 4

3. Verificar se (cA)^2 = cA times cA = c^2A^2 = c^2A é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz em e um escalar . Queremos verificar se .
Para que , precisaríamos que . Isso implica que , ou seja, . Portanto, isso só é válido se ou . Para outros valores de , a igualdade não se mantém.

Resposta

Como não é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar (exceto para casos específicos), o conjunto não é um subespaço do espaço vetorial .

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