Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
(g)
e
(g)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes
. O subconjunto
é formado pelas matrizes
que satisfazem
. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço de
.
Para isso, precisamos conhecer alguns conceitos básicos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Um subespaço deve atender a três condições:
- Conter o vetor zero: A matriz zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 2
1. Verificar se o vetor zero está em
:
A matriz zero
é uma matriz
com todos os elementos iguais a zero. Vamos ver se
satisfaz
.
Portanto,
está em
.
Passo 3
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer
e
em
, ou seja,
e
. Queremos saber se
.
Calculando
:
Para que
, seria necessário que
. No entanto, isso nem sempre acontece para matrizes quaisquer
e
que satisfazem
e
. Portanto, a condição
não é garantida.
Passo 4
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz
em
e um escalar
. Queremos verificar se
.
Para que
, precisaríamos que
. Isso implica que
, ou seja,
. Portanto, isso só é válido se
ou
. Para outros valores de
, a igualdade não se mantém.
Resposta
Como
não é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar (exceto para casos específicos), o conjunto
não é um subespaço do espaço vetorial
.