Determine a dimensão do espaço através do teorema do núcleo e da imagem, usando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir a dimensão do espaço , que é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem. A transformação linear que vamos analisar é , definida por . Vamos precisar entender o que são núcleo e imagem dessa transformação para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, lembrando do Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão), que diz:
íú
No nosso caso, o “Domínio” é . A gente já sabe que a dimensão de é 3, porque tem os polinômios como base.

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo da transformação , que é o conjunto de todos os polinômios em que satisfazem .
Ou seja:
Vamos escrever como , onde são reais. Então:
Substituindo na equação:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Portanto, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo ( ). Assim, o núcleo de é trivial e tem dimensão 0.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de , que é o conjunto de todos os polinômios obtidos aplicando em . Como o núcleo tem dimensão 0 e o Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que:
íú
Então, a imagem de também tem dimensão 3.

Resposta

A dimensão do espaço é 3.

Exercícios relacionados

Obter expressão geral da transformação linear tal que e .
Sendo e , ache as coordenadas de:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Sejam , vetores. Mostre que .
Prove que .