Determine a dimensão do espaço P2(R) através do teorema do núcleo e da imagem, usando T: B2(R) B3(R), T(p(t))=t p(t)+p^prime(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir a dimensão do espaço , que é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem. A transformação linear que vamos analisar é , definida por . Vamos precisar entender o que são núcleo e imagem dessa transformação para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, lembrando do Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão), que diz:
dim Domínio = dim Núc<=o + dim Ima>=m íú
No nosso caso, o “Domínio” é . A gente já sabe que a dimensão de é 3, porque tem os polinômios como base.

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo da transformação t cdot p(t) + p'(t) = 0 , que é o conjunto de todos os polinômios p'(t) = 2a t + b em t(a t^2 + b t + c) + (2a t + b) = a t^3 + b t^2 + c t + 2a t + b = 0 que satisfazem a = 0 b = 0 c + 2a = c = 0 .
Ou seja:
Vamos escrever como , onde são reais. Então:
Substituindo na equação:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Portanto, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo ( ). Assim, o núcleo de é trivial e tem dimensão 0.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de dim Ima>=m = dim Domínio - dim Núc<=o = 3 - 0 = 3 , que é o conjunto de todos os polinômios obtidos aplicando em . Como o núcleo tem dimensão 0 e o Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que:
íú
Então, a imagem de também tem dimensão 3.

Resposta

A dimensão do espaço é 3.

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