Determine a dimensão do espaço
através do teorema do núcleo e da imagem, usando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir a dimensão do espaço
, que é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem. A transformação linear que vamos analisar é
, definida por
. Vamos precisar entender o que são núcleo e imagem dessa transformação para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, lembrando do Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão), que diz:
No nosso caso, o “Domínio” é
. A gente já sabe que a dimensão de
é 3, porque tem os polinômios
como base.
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo da transformação
, que é o conjunto de todos os polinômios
em
que satisfazem
.
Ou seja:
Vamos escrever
como
, onde
são reais. Então:
Substituindo na equação:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Portanto, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo (
). Assim, o núcleo de
é trivial e tem dimensão 0.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de
, que é o conjunto de todos os polinômios obtidos aplicando
em
. Como o núcleo tem dimensão 0 e o Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que:
Então, a imagem de
também tem dimensão 3.
Resposta
A dimensão do espaço
é 3.