Obter expressão geral da transformação linear tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a expressão geral de uma transformação linear. Isso significa que queremos descobrir como transforma qualquer vetor de três dimensões em um vetor de duas dimensões. Para resolver isso, vamos usar os dados fornecidos das imagens de três vetores específicos sob a transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz será , ou seja, duas linhas e três colunas. Vamos chamar essa matriz de:
Então, para qualquer vetor em , a transformação será:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar os valores de e .
Primeira condição:
Aplicando na matriz:
Simplificando:
Segunda condição:
Aplicando na matriz:
Substituindo e :
Terceira condição:
Aplicando na matriz:
Substituindo , , e :
Resposta
Com os valores encontrados, a matriz que representa a transformação é:
Portanto, a expressão geral da transformação linear é: