Sejam , vetores. Mostre que .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro vetores: , , e . Queremos mostrar que o produto escalar entre o produto vetorial de e com o produto vetorial de e é igual ao determinante formado pelos produtos escalares correspondentes desses vetores. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos produtos vetoriais e escalares, além de entender como calcular determinantes de matrizes 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos vetores e , e seu módulo é dado pela área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Da mesma forma, é um vetor perpendicular a e .

Passo 3

O produto escalar entre dois vetores, como , nos dá um número que representa o quanto esses dois vetores estão alinhados. Esse produto escalar pode ser expandido usando uma identidade que relaciona produtos vetoriais e escalares.

Passo 4

A identidade que vamos usar é:

Essa fórmula nos permite expressar o produto escalar de produtos vetoriais em termos de produtos escalares simples.

Passo 5

Aplicando essa identidade aos vetores da nossa questão, temos:

Passo 6

Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Para a matriz
o determinante é dado por .

Passo 7

Aplicando isso à matriz formada pelos produtos escalares dos nossos vetores:

Resposta

Portanto, mostramos que

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Determine a dimensão do espaço através do teorema do núcleo e da imagem, usando .
Obter expressão geral da transformação linear tal que e .
Prove que .
Determine a distância dos pontos aos respectivos planos:
e