Sejam u, v, w, t, vetores. Mostre que (u wed>= v) bul<=t(w wed>= t)=|llu bul<=t w & u bul<=t t v bul<=t w & v bul<=t t|.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro vetores: u, v, w e t. Queremos mostrar que o produto escalar entre o produto vetorial de u e v com o produto vetorial de w e t é igual ao determinante formado pelos produtos escalares correspondentes desses vetores. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos produtos vetoriais e escalares, além de entender como calcular determinantes de matrizes 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial u wed>= v resulta em um vetor perpendicular aos vetores u e v, e seu módulo é dado pela área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Da mesma forma, w wed>= t é um vetor perpendicular a w e t.

Passo 3

O produto escalar entre dois vetores, como (u wed>= v) bul<=t (w wed>= t), nos dá um número que representa o quanto esses dois vetores estão alinhados. Esse produto escalar pode ser expandido usando uma identidade que relaciona produtos vetoriais e escalares.

Passo 4

A identidade que vamos usar é:
(a wed>= b) bul<=t (c wed>= d) = (a bul<=t c)(b bul<=t d) - (a bul<=t d)(b bul<=t c)
Essa fórmula nos permite expressar o produto escalar de produtos vetoriais em termos de produtos escalares simples.

Passo 5

Aplicando essa identidade aos vetores da nossa questão, temos:
(u wed>= v) bul<=t (w wed>= t) = (u bul<=t w)(v bul<=t t) - (u bul<=t t)(v bul<=t w)

Passo 6

Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Para a matriz
a & b c & d
o determinante é dado por ad - bc.

Passo 7

Aplicando isso à matriz formada pelos produtos escalares dos nossos vetores:
u bul<=t w & u bul<=t t v bul<=t w & v bul<=t t = (u bul<=t w)(v bul<=t t) - (u bul<=t t)(v bul<=t w)

Resposta

Portanto, mostramos que
(u wed>= v) bul<=t (w wed>= t) = u bul<=t w & u bul<=t t v bul<=t w & v bul<=t t

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