Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro vetores: , , e . Queremos mostrar que o produto escalar entre o produto vetorial de e com o produto vetorial de e é igual ao determinante formado pelos produtos escalares correspondentes desses vetores. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos produtos vetoriais e escalares, além de entender como calcular determinantes de matrizes 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos vetores e , e seu módulo é dado pela área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Da mesma forma, é um vetor perpendicular a e .
Passo 3
O produto escalar entre dois vetores, como , nos dá um número que representa o quanto esses dois vetores estão alinhados. Esse produto escalar pode ser expandido usando uma identidade que relaciona produtos vetoriais e escalares.
Passo 4
A identidade que vamos usar é:
Essa fórmula nos permite expressar o produto escalar de produtos vetoriais em termos de produtos escalares simples.
Passo 5
Aplicando essa identidade aos vetores da nossa questão, temos:
Passo 6
Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Para a matriz
o determinante é dado por .
Passo 7
Aplicando isso à matriz formada pelos produtos escalares dos nossos vetores: