Prove que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que o determinante formado pelos vetores
,
e
é igual a duas vezes o determinante formado pelos vetores
,
e
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o determinante
de forma expandida. Sabemos que o determinante é linear em cada uma das suas colunas, ou seja, podemos distribuir os vetores dentro do determinante.
Passo 3
Aplicando a linearidade, expandimos cada coluna:
Passo 4
Observamos que determinantes onde duas colunas são iguais são iguais a zero. Portanto, os termos
,
,
e
são todos iguais a zero.
Passo 5
Simplificando, restam apenas dois termos:
Passo 6
Sabemos que o determinante é antissimétrico, ou seja, trocando duas colunas ele muda de sinal. Assim,
.
Passo 7
Substituindo na expressão anterior:
Resposta
Portanto,
.