Prove que [u+v, v+w, w+u]=2[u, v, w].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que o determinante formado pelos vetores , e é igual a duas vezes o determinante formado pelos vetores , e . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o determinante de forma expandida. Sabemos que o determinante é linear em cada uma das suas colunas, ou seja, podemos distribuir os vetores dentro do determinante.

Passo 3

Aplicando a linearidade, expandimos cada coluna:
[u+v, v+w, w+u] = [u, v, w] + [u, v, u] + [u, w, w] + [u, w, u] + [v, v, w] + [v, w, u]

Passo 4

Observamos que determinantes onde duas colunas são iguais são iguais a zero. Portanto, os termos , , e são todos iguais a zero.

Passo 5

Simplificando, restam apenas dois termos:
[u+v, v+w, w+u] = [u, v, w] + [v, w, u]

Passo 6

Sabemos que o determinante é antissimétrico, ou seja, trocando duas colunas ele muda de sinal. Assim, .

Passo 7

Substituindo na expressão anterior:
[u+v, v+w, w+u] = [u, v, w] + [u, v, w] = 2[u, v, w]

Resposta

Portanto, .

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