Prove que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que o determinante formado pelos vetores , e é igual a duas vezes o determinante formado pelos vetores , e . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o determinante de forma expandida. Sabemos que o determinante é linear em cada uma das suas colunas, ou seja, podemos distribuir os vetores dentro do determinante.

Passo 3

Aplicando a linearidade, expandimos cada coluna:

Passo 4

Observamos que determinantes onde duas colunas são iguais são iguais a zero. Portanto, os termos , , e são todos iguais a zero.

Passo 5

Simplificando, restam apenas dois termos:

Passo 6

Sabemos que o determinante é antissimétrico, ou seja, trocando duas colunas ele muda de sinal. Assim, .

Passo 7

Substituindo na expressão anterior:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Sejam , vetores. Mostre que .
Determine a dimensão do espaço através do teorema do núcleo e da imagem, usando .
Determine a distância dos pontos aos respectivos planos:
e
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente: