Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações.
T: Re^2 Re^3, T(x, y)=(y, 2 y, y);

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos uma transformação linear T: R^2 R^3 definida por T(x, y) = (y, 2y, y). Nosso objetivo é descobrir três coisas:
  1. Dimensão da transformação.
  2. Núcleo de T (os vetores que são mapeados para o vetor zero).
  3. Imagem de T (todos os vetores que conseguimos obter aplicando T).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Vamos começar encontrando o núcleo de T. O núcleo é o conjunto de todos os vetores (x, y) em R^2 que são mapeados para o vetor zero em R^3. Ou seja, queremos resolver:
T(x, y) = (0, 0, 0)
Substituindo a definição de T:
(y, 2y, y) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
y = 0 2y = 0 y = 0
Daqui, vemos que y deve ser igual a zero. Porém, não há nenhuma restrição para x. Portanto, o núcleo de T é:
Ker(T) = , (x, 0) mid x in R ,
Isso significa que qualquer vetor onde y = 0 está no núcleo de T.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os vetores que conseguimos obter aplicando T a qualquer vetor de R^2. Vamos analisar a expressão de T(x, y):
T(x, y) = (y, 2y, y) = y cdot (1, 2, 1)
Isso mostra que todos os vetores na imagem são múltiplos do vetor (1, 2, 1). Portanto, a imagem de T é uma linha no R^3 que passa pela origem e é gerada pelo vetor (1, 2, 1).

Passo 4

Finalmente, vamos determinar as dimensões da imagem e do núcleo.
  • Dimensão do Núcleo: O núcleo consiste de todos os vetores (x, 0), que formam uma linha em R^2. Assim, a dimensão do núcleo é 1.
  • Dimensão da Imagem: A imagem é uma linha gerada pelo vetor (1, 2, 1) em R^3. Portanto, a dimensão da imagem também é 1.

Resposta

A transformação T tem dimensão 1, núcleo formado por todos os vetores (x,, 0) com x in R, e imagem gerada pelo vetor (1,, 2,, 1), também com dimensão 1.

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Qual a Transformação linear que:
Encontre v in Re^2 tal que T(v)=(-2,6);
Seja P=(3,4,-1).
(b) Encontre a distância de P ao eixo z;
Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações.
T: Re^2 Re^3, T(x, y)=(2 x, 4 x,-4 y);
Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações.
T: Re^2 Re^3, T(x, y)=(x-y2, x-y2, 2 x+y);