Determine a dimensão, o núcleo e a imagem das seguintes transformações. ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir três coisas:
Dimensão da transformação.
Núcleo de (os vetores que são mapeados para o vetor zero).
Imagem de (todos os vetores que conseguimos obter aplicando ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Substituindo a definição de :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Daqui, vemos que y deve ser igual a zero. Porém, não há nenhuma restrição para x. Portanto, o núcleo de T é:
Ker(T) = , (x, 0) mid x in R ,
Isso significa que qualquer vetor onde y = 0 está no núcleo de T.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os vetores que conseguimos obter aplicando T a qualquer vetor de R^2. Vamos analisar a expressão de T(x, y):
T(x, y) = (y, 2y, y) = y cdot (1, 2, 1)
Isso mostra que todos os vetores na imagem são múltiplos do vetor (1, 2, 1). Portanto, a imagem de T é uma linha no R^3 que passa pela origem e é gerada pelo vetor (1, 2, 1).
Passo 4
Finalmente, vamos determinar as dimensões da imagem e do núcleo.
Dimensão do Núcleo: O núcleo consiste de todos os vetores (x, 0), que formam uma linha em R^2. Assim, a dimensão do núcleo é 1.
Dimensão da Imagem: A imagem é uma linha gerada pelo vetor (1, 2, 1) em R^3. Portanto, a dimensão da imagem também é 1.
Resposta
A transformação T tem dimensão 1, núcleo formado por todos os vetores (x,, 0) com x in R, e imagem gerada pelo vetor (1,, 2,, 1), também com dimensão 1.