A matriz
não é inversível. O que acontece quando tentamos invertê-la por escalonamento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 3x3 que não é inversível e precisa entender o que acontece quando tentamos inverter ela usando escalonamento. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e operações de linha para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Se o determinante for zero, ela é chamada de singular e não tem inversa.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz:
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, encontramos que o determinante é zero, confirmando que a matriz não é inversível.

Passo 4

Agora, vamos tentar inverter a matriz usando o método de escalonamento. Para isso, montamos uma matriz aumentada com a matriz original e a identidade:

Passo 5

Vamos começar a escalonar a matriz. Primeiro, fazemos o elemento (1,1) ser 1 dividindo a primeira linha por 3:

Passo 6

Em seguida, eliminamos o elemento (3,1) subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 7

Agora, vamos fazer o elemento (2,2) ser 1 dividindo a segunda linha por 2:

Passo 8

Eliminamos o elemento (3,2) subtraindo 2 vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 9

Observamos que a terceira linha ficou com todos os elementos da matriz original sendo zero e apenas os elementos da identidade ampliada não formando uma identidade. Isso indica que não conseguimos chegar à forma escalonada reduzida que representa a matriz inversa.

Resposta

Quando tentamos inverter a matriz por escalonamento, percebemos que ela não é inversível porque o determinante é zero e não conseguimos transformar a matriz original na identidade. Ou seja, não existe uma matriz inversa para a dada matriz.

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Nas condiçōes do item anterior, é uma base do ? Justifique.
Inverta por escalonamento as seguintes matrizes
Lista 1 - Alg Lin
Determine a dimensão dos seguintes subespaços de :
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