Determine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio de 5 cm e de altura 12 cm .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões (raio e altura) do cilindro circular reto que tem o maior volume possível dentro de um cone circular reto que tem raio de 5 cm e altura de 12 cm. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, como similaridade de triângulos, e um pouquinho de cálculo para maximizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar mentalmente o cone e o cilindro inscrito nele. Imagine que o cilindro está tocando as laterais do cone. Vamos chamar a altura do cilindro de e o raio dele de . Nosso objetivo é encontrar e que maximizem o volume do cilindro.

Passo 3

Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Mas precisamos relacionar e usando as dimensões do cone. No cone, temos raio cm e altura cm.

Passo 4

Usando a similaridade de triângulos, podemos relacionar e . A proporção é:
Substituindo e :
Daí, isolando :

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula do volume:
Expandindo:
Simplificando:
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando por 48 para eliminar as frações:
Dividindo por 25:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou . Como cm faria o cilindro ter zero raio, descartamos essa solução. Então, cm.
Agora, calculamos :

Resposta

O cilindro circular reto de maior volume inscrito no cone tem raio de cm e altura de 4 cm.

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