Determine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio de 5 cm e de altura 12 cm .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões (raio e altura) do cilindro circular reto que tem o maior volume possível dentro de um cone circular reto que tem raio de 5 cm e altura de 12 cm. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, como similaridade de triângulos, e um pouquinho de cálculo para maximizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar mentalmente o cone e o cilindro inscrito nele. Imagine que o cilindro está tocando as laterais do cone. Vamos chamar a altura do cilindro de
e o raio dele de
. Nosso objetivo é encontrar
e
que maximizem o volume do cilindro.
Passo 3
Sabemos que o volume
de um cilindro é dado por:
Mas precisamos relacionar
e
usando as dimensões do cone. No cone, temos raio
cm e altura
cm.
Passo 4
Usando a similaridade de triângulos, podemos relacionar
e
. A proporção é:
Substituindo
e
:
Daí, isolando
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na fórmula do volume:
Expandindo:
Simplificando:
Para encontrar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando por 48 para eliminar as frações:
Dividindo por 25:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
. Como
cm faria o cilindro ter zero raio, descartamos essa solução. Então,
cm.
Agora, calculamos
:
Resposta
O cilindro circular reto de maior volume inscrito no cone tem raio de
cm e altura de 4 cm.