Determine as dimensões do maior retângulo inscritível na elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as dimensões do maior retângulo que dá pra desenhar dentro de uma elipse definida pela equação
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de geometria analítica, especificamente com elipses e otimização de áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma elipse. A equação geral
representa uma elipse centrada na origem, onde
é o semi-eixo maior na direção do
e
é o semi-eixo menor na direção do
.
Passo 3
Queremos encontrar o maior retângulo inscrito nessa elipse. Isso significa que os quatro cantos do retângulo estão sobre a elipse. Vamos assumir que o retângulo é simétrico em relação aos eixos, então podemos considerar apenas um canto no primeiro quadrante e multiplicar por 4 depois.
Passo 4
Vamos chamar as coordenadas desse canto do retângulo de
. Como esse ponto está na elipse, ele satisfaz a equação
. Nosso objetivo é maximizar a área do retângulo, que é dada por
.
Passo 5
Para maximizar
, podemos reescrever uma das variáveis em função da outra usando a equação da elipse. Por exemplo, isolando
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da área:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero.
Primeiro, reescrevemos
para facilitar a derivação:
A derivada de
em relação a
é:
Simplificando:
Passo 8
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora que temos
, substituímos de volta na equação da elipse para encontrar
:
Resposta
As dimensões do maior retângulo inscrito na elipse são
de comprimento e
de largura.