Determine as dimensões do maior retângulo inscritível na elipse .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as dimensões do maior retângulo que dá pra desenhar dentro de uma elipse definida pela equação . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de geometria analítica, especificamente com elipses e otimização de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma elipse. A equação geral representa uma elipse centrada na origem, onde é o semi-eixo maior na direção do e é o semi-eixo menor na direção do .

Passo 3

Queremos encontrar o maior retângulo inscrito nessa elipse. Isso significa que os quatro cantos do retângulo estão sobre a elipse. Vamos assumir que o retângulo é simétrico em relação aos eixos, então podemos considerar apenas um canto no primeiro quadrante e multiplicar por 4 depois.

Passo 4

Vamos chamar as coordenadas desse canto do retângulo de . Como esse ponto está na elipse, ele satisfaz a equação . Nosso objetivo é maximizar a área do retângulo, que é dada por .

Passo 5

Para maximizar , podemos reescrever uma das variáveis em função da outra usando a equação da elipse. Por exemplo, isolando :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão da área:

Passo 7

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero.
Primeiro, reescrevemos para facilitar a derivação:
A derivada de em relação a é:
Simplificando:

Passo 8

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Agora que temos , substituímos de volta na equação da elipse para encontrar :

Resposta

As dimensões do maior retângulo inscrito na elipse são de comprimento e de largura.

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Calcule os limites
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
k)

  1. i)
    j)
    m)
    n)
    o)
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