Determine as dimensões do maior retângulo inscritível na elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as dimensões do maior retângulo que dá pra desenhar dentro de uma elipse definida pela equação x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de geometria analítica, especificamente com elipses e otimização de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma elipse. A equação geral x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 representa uma elipse centrada na origem, onde a é o semi-eixo maior na direção do x e b é o semi-eixo menor na direção do y.

Passo 3

Queremos encontrar o maior retângulo inscrito nessa elipse. Isso significa que os quatro cantos do retângulo estão sobre a elipse. Vamos assumir que o retângulo é simétrico em relação aos eixos, então podemos considerar apenas um canto no primeiro quadrante e multiplicar por 4 depois.

Passo 4

Vamos chamar as coordenadas desse canto do retângulo de (x, y). Como esse ponto está na elipse, ele satisfaz a equação x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Nosso objetivo é maximizar a área do retângulo, que é dada por .

Passo 5

Para maximizar , podemos reescrever uma das variáveis em função da outra usando a equação da elipse. Por exemplo, isolando y:

Passo 6

Agora, substituímos y na expressão da área:

Passo 7

Para encontrar o valor de x que maximiza A, derivamos A em relação a x e igualamos a zero.
Primeiro, reescrevemos A para facilitar a derivação:
A derivada de A em relação a x é:
Simplificando:

Passo 8

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Resolvendo para x:

Passo 10

Agora que temos , substituímos de volta na equação da elipse para encontrar y:

Resposta

As dimensões do maior retângulo inscrito na elipse são de comprimento e de largura.

Exercícios relacionados