Determine as dimensões de R e b, para que a equação
alpha cdot R+(b cdot F)^2=log 2
seja dimensionalmente correta. Considere que alpha e F possuem dimensão de aceleração e força, respectivamente.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação:
alpha cdot R + (b cdot F)^2 = log 2
Nosso objetivo é determinar as dimensões de e para que essa equação seja dimensionalmente correta. Isso significa que todas as parcelas da equação devem ter as mesmas dimensões. Sabemos que tem dimensão de aceleração e tem dimensão de força. Para resolver isso, vamos usar o conceito de análise dimensional, que nos ajuda a verificar a consistência das equações físicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões conhecidas:
  • Aceleração ( ) tem dimensão de , onde:
    • representa comprimento
    • representa tempo
  • Força ( ) tem dimensão de , onde:
    • representa massa

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo da equação para garantir que tenham a mesma dimensão.
Começando pelo primeiro termo: [LT^-2] cdot [R] = [dimensão de R times LT^-2]
Sabemos que tem dimensão e queremos encontrar a dimensão de . Se multiplicarmos por , a dimensão resultante será:
ã
Para que este termo seja dimensionalmente consistente com os outros termos da equação, precisamos analisar o segundo termo.

Passo 4

O segundo termo da equação é [b] cdot [MLT^-2] = [b cdot MLT^-2] .
Primeiro, vamos encontrar a dimensão de ([b cdot MLT^-2])^2 = [b^2 cdot M^2 L^2 T^-4] :
  • tem dimensão
  • tem dimensão
Então:
Elevando ao quadrado:

Passo 5

Agora, igualamos as dimensões dos dois termos para que a soma seja consistente.
Temos:
alpha cdot R = [LT^-2] cdot [R]
E:
(b cdot F)^2 = [b^2 cdot M^2 L^2 T^-4]
Para que ambos os termos possam ser somados, as dimensões devem ser iguais:
[LT^-2 cdot R] = [b^2 cdot M^2 L^2 T^-4]

Passo 6

Agora, vamos resolver para as dimensões de [LT^-2 cdot R] = [b^2 cdot M^2 L^2 T^-4] e [R] = [b^2 cdot M^2 L^2 T^-4] div [LT^-2] = [b^2 cdot M^2 L^2 T^-4 cdot L^-1 T^2] = [b^2 cdot M^2 L T^-2] .
Igualando as dimensões:
Isso implica que:
Para simplificar, assumimos que não depende de , então devemos considerar que as dimensões de e devem compensar essa relação.

Passo 7

Para que as dimensões sejam consistentes, [R] = [b^2 cdot M^2 L T^-2] deve ter dimensões que, ao serem elevadas ao quadrado, eliminem as variáveis indesejadas. Portanto, resolvendo para [b] = raiz[R][M^2 L T^-2] = [R^1/2 M^-1 L^-1/2 T] :
Para isolar :

Resposta

As dimensões de [R] = 1M^2 L T^-2 e [b] = 1M L^1/2 T^-1 e que tornam a equação dimensionalmente correta são:

Exercícios relacionados