Determine as dimensões de R e b, para que a equação
seja dimensionalmente correta. Considere que
e
possuem dimensão de aceleração e força, respectivamente.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação:
Nosso objetivo é determinar as dimensões de
e
para que essa equação seja dimensionalmente correta. Isso significa que todas as parcelas da equação devem ter as mesmas dimensões. Sabemos que
tem dimensão de aceleração e
tem dimensão de força. Para resolver isso, vamos usar o conceito de análise dimensional, que nos ajuda a verificar a consistência das equações físicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões conhecidas:
-
Aceleração (
) tem dimensão de , onde: -
representa comprimento -
representa tempo
-
-
Força (
) tem dimensão de , onde: -
representa massa
-
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo da equação para garantir que tenham a mesma dimensão.
Começando pelo primeiro termo:
Sabemos que
tem dimensão
e queremos encontrar a dimensão de
. Se multiplicarmos
por
, a dimensão resultante será:
Para que este termo seja dimensionalmente consistente com os outros termos da equação, precisamos analisar o segundo termo.
Passo 4
O segundo termo da equação é
.
Primeiro, vamos encontrar a dimensão de
:
-
tem dimensão -
tem dimensão
Então:
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Agora, igualamos as dimensões dos dois termos para que a soma seja consistente.
Temos:
E:
Para que ambos os termos possam ser somados, as dimensões devem ser iguais:
Passo 6
Agora, vamos resolver para as dimensões de
e
.
Igualando as dimensões:
Isso implica que:
Para simplificar, assumimos que
não depende de
, então devemos considerar que as dimensões de
e
devem compensar essa relação.
Passo 7
Para que as dimensões sejam consistentes,
deve ter dimensões que, ao serem elevadas ao quadrado, eliminem as variáveis indesejadas. Portanto, resolvendo para
:
Para isolar
:
Resposta
As dimensões de
e
que tornam a equação dimensionalmente correta são:
Exercícios relacionados
Um mol de um gás ideal em ocupa
. Qual é a razão entre o volume molar e o volume atômico de um mol de hidrogênio? Por que essa proporção é tão grande? Considere o raio da molécula de hidrogênio como sendo
.
Se a expressão
é dimensionalmente correta, com
e
possuindo dimensão de massa, tempo, velocidade e trabalho, respectivamente, calcule
.
A força de rolamento que experimenta uma pequena esfera dentro de um líquido é dada pela expressão
onde
é uma constante adimensional e
e
são, respectivamente, força de rolamento, raio, velocidade e viscosidade. Sabendo ainda que:
calcule
.
Se a expressão
é dimensionalmente correta, com
e
sendo, respectivamente, força e trabalho, enquanto
é apenas uma constante adimensional, calcule o valor de
.