Se a expressão
W=(mt^2)^alpha cdot t^beta cdot V^gamma
é dimensionalmente correta, com m, t, V e W possuindo dimensão de massa, tempo, velocidade e trabalho, respectivamente, calcule alpha+beta+gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma expressão que envolve trabalho ( W) e queremos garantir que ela esteja “dimensionalmente correta”, ou seja, que as unidades nas duas mãos batam certinhas. As grandezas envolvidas são massa ( m), tempo ( t), velocidade ( V) e trabalho ( W). Vamos precisar usar análise dimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as dimensões de cada grandeza:
  • Massa ( m) tem dimensão M.
  • Tempo ( t) tem dimensão T.
  • Velocidade ( V) é distância sobre tempo, então suas dimensões são LT^-1, mas como não precisamos da dimensão de comprimento, vamos considerar apenas a parte essencial: VT^-1.
  • Trabalho ( W) tem dimensão de energia, que é ML^2T^-2. Novamente, focando nas dimensões principais, podemos considerar MT^-2.
A expressão dada é:
W = (mt^2)^alpha cdot t^beta cdot V^gamma

Passo 3

Vamos expressar as dimensões de cada parte da expressão:
  • (mt^2)^alpha tem dimensão M^alphaT^-2alpha
  • t^beta tem dimensão T^beta
  • V^gamma tem dimensão (LT^-1)^gamma = L^gammaT^-gamma
Multiplicando tudo junto:
M^alphaT^-2alpha cdot T^beta cdot L^gammaT^-gamma = M^alphaL^gammaT^-2alpha + beta - gamma

Passo 4

Como a expressão W deve ter a mesma dimensão que o trabalho, que é ML^2T^-2, vamos igualar as potências de cada dimensão:
  1. Para M: alpha = 1
  2. Para L: gamma = 2
  3. Para T: -2alpha + beta - gamma = -2
Substituindo alpha = 1 e gamma = 2 na terceira equação:
-2(1) + beta - 2 = -2 -2 + beta - 2 = -2 beta - 4 = -2 beta = 2

Passo 5

Agora, temos:
  • alpha = 1
  • beta = 2
  • gamma = 2
Então, alpha + beta + gamma = 1 + 2 + 2 = 5

Resposta

A soma alpha + beta + gamma é igual a 5.

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