A força de rolamento que experimenta uma pequena esfera dentro de um líquido é dada pela expressão
F=sigma cdot eta^alpha cdot r^2 beta cdot V^2 gamma
onde sigma é uma constante adimensional e F, r, V e eta são, respectivamente, força de rolamento, raio, velocidade e viscosidade. Sabendo ainda que:
viscosidade = massa comprimento times tempo
calcule alpha+beta+gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve calcular a soma dos expoentes , e na expressão da força de rolamento de uma esfera em um líquido. Para resolver isso, vamos usar Análise Dimensional, que é uma técnica para verificar se as equações físicas estão corretamente dimensionadas, ou seja, se os lados da equação têm as mesmas unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as grandezas envolvidas e suas dimensões:
  • (força): Força tem dimensão de , onde:
    • = massa
    • = comprimento
    • = tempo
  • (viscosidade): Dado que viscosidade , suas dimensões são .
  • (raio): É uma medida de comprimento, então sua dimensão é .
  • (velocidade): Velocidade é comprimento dividido pelo tempo, então .
  • : É uma constante adimensional, ou seja, sua dimensão é 1.

Passo 3

Agora, vamos expressar a equação dada em termos de dimensões:
F = sigma cdot eta^alpha cdot r^2beta cdot V^2gamma
Substituindo as dimensões:
[M][L][T]^-2 = 1 cdot ([M][L]^-1[T]^-1)^alpha cdot [L]^2beta cdot ([L][T]^-1)^2gamma

Passo 4

Vamos simplificar o lado direito da equação:
[M][L][T]^-2 = [M]^alpha [L]^-alpha [T]^-alpha cdot [L]^2beta cdot [L]^2gamma [T]^-2gamma
Agrupando as potências das mesmas dimensões:
[M][L][T]^-2 = [M]^alpha [L]^- alpha + 2beta + 2gamma [T]^- alpha - 2gamma

Passo 5

Agora, igualamos os expoentes de cada dimensão dos dois lados da equação:
  1. Massa alpha = 1 :
    -alpha + 2beta + 2gamma = 1
  2. Comprimento -1 + 2beta + 2gamma = 1 Rightarrow 2beta + 2gamma = 2 Rightarrow beta + gamma = 1 :
    -alpha - 2gamma = -2
    Substituindo -1 - 2gamma = -2 Rightarrow -2gamma = -1 Rightarrow gamma = 0.5 :
  3. Tempo :
    Substituindo :
    Então,

Resposta

alpha + beta + gamma = 1 + 0.5 + 0.5 = 2
Portanto, .

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