Se a expressão
é dimensionalmente correta, com e sendo, respectivamente, força e trabalho, enquanto é apenas uma constante adimensional, calcule o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma expressão que envolve dimensões físicas e pede para a gente calcular a diferença entre os expoentes β e α. Estamos lidando com análise dimensional, uma ferramenta da física que garante que as equações façam sentido em termos de unidades de medida. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as dimensões da força (F) e do trabalho (W), além de entender como igualar as dimensões dos dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada termo na equação. Sabemos que:
  • Força (F) tem a dimensão de massa vezes aceleração: [F] = [M][L][T⁻²]
  • Trabalho (W) é força vezes deslocamento: [W] = [M][L²][T⁻²]
A expressão dada é:
Como k é adimensional e o seno de um ângulo também é adimensional, podemos ignorar esses termos na análise dimensional. Focamos, então, em:

Passo 3

Agora, vamos expressar todas as dimensões em termos de [M], [L] e [T]:
  • Esquerda da equação:
Como h não foi especificado, mas para a equação fazer sentido, h deve ter dimensão de comprimento ao quadrado para que sua raiz quadrada tenha dimensão de comprimento:
  • Direita da equação:
Substituindo as dimensões de F e W:
Multiplicando esses termos:

Passo 4

Igualamos as dimensões dos dois lados da equação:
Para as massas:
Para os comprimentos:
Para o tempo:
Observamos que temos duas equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
Então, substituindo de volta:

Resposta

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A força de rolamento que experimenta uma pequena esfera dentro de um líquido é dada pela expressão
onde é uma constante adimensional e e são, respectivamente, força de rolamento, raio, velocidade e viscosidade. Sabendo ainda que:
calcule .
Determine as dimensões de R e b, para que a equação
seja dimensionalmente correta. Considere que e possuem dimensão de aceleração e força, respectivamente.
A carga elétrica de uma partícula com de massa, para que ela permaneça em repouso, quando colocada em um campo elétrico vertical, com sentido para baixo e intensidade igual a , é:
a) +40 nC
b)
c) +40 mC
d)
e) -40 mC
|Seja 8 cargas iguais posicionadas em um cubo de lado d. Determine o campo elétrico total em um dos vértices e a força sobre a carga neste vértice. Assuma que a constante de Coulomb é K.