Se a expressão
raizh=k cdot sin (4 theta) cdot F^alpha-1 cdot W^beta-1
é dimensionalmente correta, com F e W sendo, respectivamente, força e trabalho, enquanto k é apenas uma constante adimensional, calcule o valor de beta-alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma expressão que envolve dimensões físicas e pede para a gente calcular a diferença entre os expoentes β e α. Estamos lidando com análise dimensional, uma ferramenta da física que garante que as equações façam sentido em termos de unidades de medida. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as dimensões da força (F) e do trabalho (W), além de entender como igualar as dimensões dos dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada termo na equação. Sabemos que:
  • Força (F) tem a dimensão de massa vezes aceleração: [F] = [M][L][T⁻²]
  • Trabalho (W) é força vezes deslocamento: [W] = [M][L²][T⁻²]
A expressão dada é:
raizh = k cdot sin(4theta) cdot F^alpha-1 cdot W^beta-1
Como k é adimensional e o seno de um ângulo também é adimensional, podemos ignorar esses termos na análise dimensional. Focamos, então, em:
raizh = F^alpha-1 cdot W^beta-1

Passo 3

Agora, vamos expressar todas as dimensões em termos de [M], [L] e [T]:
  • Esquerda da equação: raizh
Como h não foi especificado, mas para a equação fazer sentido, h deve ter dimensão de comprimento ao quadrado para que sua raiz quadrada tenha dimensão de comprimento:
[raizh] = [L]
  • Direita da equação: F^alpha-1 cdot W^beta-1
Substituindo as dimensões de F e W:
[F]^alpha-1 = [M]^alpha-1 [L]^alpha-1 [T]^-2(alpha-1)
[W]^beta-1 = [M]^beta-1 [L]^2(beta-1) [T]^-2(beta-1)
Multiplicando esses termos:
[F]^alpha-1 cdot [W]^beta-1 = [M]^alpha+beta-2 [L]^alpha + 2beta -3 [T]^-2(alpha+beta-2)

Passo 4

Igualamos as dimensões dos dois lados da equação:
Para as massas:
alpha + beta - 2 = 0 Rightarrow alpha + beta = 2
Para os comprimentos:
alpha + 2beta - 3 = 1 Rightarrow alpha + 2beta = 4
Para o tempo:
-2(alpha + beta - 2) = 0 Rightarrow alpha + beta = 2
Observamos que temos duas equações:
  1. alpha + beta = 2
  2. alpha + 2beta = 4

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, sabemos que alpha = 2 - beta.
Substituindo na segunda equação:
(2 - beta) + 2beta = 4 2 + beta = 4 beta = 2
Então, substituindo de volta:
alpha = 2 - 2 = 0

Resposta

beta - alpha = 2 - 0 = 2

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