Se a expressão
é dimensionalmente correta, com
e
sendo, respectivamente, força e trabalho, enquanto
é apenas uma constante adimensional, calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma expressão que envolve dimensões físicas e pede para a gente calcular a diferença entre os expoentes β e α. Estamos lidando com análise dimensional, uma ferramenta da física que garante que as equações façam sentido em termos de unidades de medida. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as dimensões da força (F) e do trabalho (W), além de entender como igualar as dimensões dos dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada termo na equação. Sabemos que:
- Força (F) tem a dimensão de massa vezes aceleração: [F] = [M][L][T⁻²]
- Trabalho (W) é força vezes deslocamento: [W] = [M][L²][T⁻²]
A expressão dada é:
Como k é adimensional e o seno de um ângulo também é adimensional, podemos ignorar esses termos na análise dimensional. Focamos, então, em:
Passo 3
Agora, vamos expressar todas as dimensões em termos de [M], [L] e [T]:
- Esquerda da equação:
Como h não foi especificado, mas para a equação fazer sentido, h deve ter dimensão de comprimento ao quadrado para que sua raiz quadrada tenha dimensão de comprimento:
- Direita da equação:
Substituindo as dimensões de F e W:
Multiplicando esses termos:
Passo 4
Igualamos as dimensões dos dois lados da equação:
Para as massas:
Para os comprimentos:
Para o tempo:
Observamos que temos duas equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, sabemos que
.
Substituindo na segunda equação:
Então, substituindo de volta: