Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro
é dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar as dimensões de um retângulo que tenha a maior área possível, sabendo que o perímetro
é fixo. Isso envolve conceitos de geometria e otimização. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de perímetro e área de retângulos, e aplicar um pouco de cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas:
- O perímetro de um retângulo é dado por:
- A área de um retângulo é:
Passo 3
Vamos chamar o comprimento do retângulo de
e a largura de
. Sabemos que o perímetro é fixo, então:
Podemos simplificar isso para:
Agora, queremos expressar a área
apenas em termos de uma variável. Vamos isolar
:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da área:
Isso fica:
Agora, temos a área expressa em função de
:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos encontrar
usando a equação
:
Resposta
As dimensões do retângulo que maximiza a área, com perímetro
, são comprimento e largura iguais a
. Ou seja, o retângulo é um quadrado com lados de comprimento
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua em
e derivável em
. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
(a) Se , então
é ponto de máximo ou mínimo local de
.
(b) Se , então
é um ponto de inflexão de
.
(a) Se
(b) Se
Determine as coordenadas do vértice da parábola
.
No início da década de 1990, um petroleiro colidiu com um barco da Guarda Costeira na costa da Califórnia. O petroleiro desativado estava derramando óleo do casco danificado. A taxa de fluxo de petróleo no Oceano Pacífico, na costa da Califórnia, foi medida em vários intervalos de tempo diferentes no terceiro dia após o acidente. As taxas estão listadas na tabela abaixo. (Esses são dados hipotéticos.)
Tempo | 21 h | 22 h | 23 h | 24 h | 1 h | 2 h | 3 h | 4 h | 5 h | 6 h | 7 h |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Quantidade (100 gal/hora) | 4,0 | 4,0 | 3,8 | 3,6 | 3,0 | 2,0 | 0,6 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,0 |
Estime a quantidade total de óleo derramado durante o período de dez horas coberto pela tabela. O que você pode dizer sobre o erro envolvido em sua estimativa?
Sabendo que