Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro é dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar as dimensões de um retângulo que tenha a maior área possível, sabendo que o perímetro é fixo. Isso envolve conceitos de geometria e otimização. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de perímetro e área de retângulos, e aplicar um pouco de cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas:
  • O perímetro de um retângulo é dado por:
  • A área de um retângulo é:

Passo 3

Vamos chamar o comprimento do retângulo de e a largura de . Sabemos que o perímetro é fixo, então:
Podemos simplificar isso para:
Agora, queremos expressar a área apenas em termos de uma variável. Vamos isolar :

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
Isso fica:
Agora, temos a área expressa em função de :

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza a área, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que sabemos que , vamos encontrar usando a equação :

Resposta

As dimensões do retângulo que maximiza a área, com perímetro , são comprimento e largura iguais a . Ou seja, o retângulo é um quadrado com lados de comprimento .

Exercícios relacionados

Seja uma função contínua em e derivável em . Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
(a) Se , então é ponto de máximo ou mínimo local de .
(b) Se , então é um ponto de inflexão de .
Determine as coordenadas do vértice da parábola .
No início da década de 1990, um petroleiro colidiu com um barco da Guarda Costeira na costa da Califórnia. O petroleiro desativado estava derramando óleo do casco danificado. A taxa de fluxo de petróleo no Oceano Pacífico, na costa da Califórnia, foi medida em vários intervalos de tempo diferentes no terceiro dia após o acidente. As taxas estão listadas na tabela abaixo. (Esses são dados hipotéticos.)
Tempo 21 h 22 h 23 h 24 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h
Quantidade (100 gal/hora) 4,0 4,0 3,8 3,6 3,0 2,0 0,6 0,3 0,1 0,1 0,0
Estime a quantidade total de óleo derramado durante o período de dez horas coberto pela tabela. O que você pode dizer sobre o erro envolvido em sua estimativa?
Sabendo que