Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro
é dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar as dimensões de um retângulo que tenha a maior área possível, sabendo que o perímetro
é fixo. Isso envolve conceitos de geometria e otimização. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de perímetro e área de retângulos, e aplicar um pouco de cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas:
- O perímetro de um retângulo é dado por:
- A área de um retângulo é:
Passo 3
Vamos chamar o comprimento do retângulo de
e a largura de
. Sabemos que o perímetro é fixo, então:
Podemos simplificar isso para:
Agora, queremos expressar a área
apenas em termos de uma variável. Vamos isolar
:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da área:
Isso fica:
Agora, temos a área expressa em função de
:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos encontrar
usando a equação
:
Resposta
As dimensões do retângulo que maximiza a área, com perímetro
, são comprimento e largura iguais a
. Ou seja, o retângulo é um quadrado com lados de comprimento
.