Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro P é dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar as dimensões de um retângulo que tenha a maior área possível, sabendo que o perímetro é fixo. Isso envolve conceitos de geometria e otimização. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de perímetro e área de retângulos, e aplicar um pouco de cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas:
  • O perímetro de um retângulo é dado por:
  • A área de um retângulo é:

Passo 3

Vamos chamar o comprimento do retângulo de e a largura de . Sabemos que o perímetro é fixo, então:
Podemos simplificar isso para:
Agora, queremos expressar a área apenas em termos de uma variável. Vamos isolar :

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
Isso fica:
Agora, temos a área expressa em função de :

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza a área, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que sabemos que , vamos encontrar usando a equação :

Resposta

As dimensões do retângulo que maximiza a área, com perímetro , são comprimento e largura iguais a . Ou seja, o retângulo é um quadrado com lados de comprimento .

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