No início da década de 1990, um petroleiro colidiu com um barco da Guarda Costeira na costa da Califórnia. O petroleiro desativado estava derramando óleo do casco danificado. A taxa de fluxo de petróleo no Oceano Pacífico, na costa da Califórnia, foi medida em vários intervalos de tempo diferentes no terceiro dia após o acidente. As taxas estão listadas na tabela abaixo. (Esses são dados hipotéticos.)
Tempo 21 h 22 h 23 h 24 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h
Quantidade (100 gal/hora) 4,0 4,0 3,8 3,6 3,0 2,0 0,6 0,3 0,1 0,1 0,0
Estime a quantidade total de óleo derramado durante o período de dez horas coberto pela tabela. O que você pode dizer sobre o erro envolvido em sua estimativa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para estimar a quantidade total de óleo derramado durante um período de dez horas, baseado nas taxas de fluxo medidas em intervalos de tempo diferentes. Estamos lidando com cálculos de integração numérica, especificamente usando métodos de soma para estimar áreas sob uma curva. Para resolver isso, vamos usar a soma das quantidades de óleo derramadas em cada intervalo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. A tabela nos mostra as taxas de fluxo de óleo (em 100 galões por hora) em diferentes horários:
Tempo 21 h 22 h 23 h 24 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h
Quantidade (100 gal/hora) 4,0 4,0 3,8 3,6 3,0 2,0 0,6 0,3 0,1 0,1 0,0

Passo 3

Agora, queremos calcular a quantidade total de óleo derramado ao longo dessas dez horas. Para isso, vamos somar as quantidades derramadas em cada intervalo de uma hora. Isso porque a taxa de fluxo está em galões por hora, então multiplicando pela duração de cada intervalo (1 hora), temos a quantidade total por hora.

Passo 4

Vamos fazer a soma das quantidades:
Calculando passo a passo:

Passo 5

Quanto ao erro na nossa estimativa, ao somar simplesmente as taxas de fluxo por intervalos de tempo, estamos assumindo que a taxa de derramamento foi constante durante cada hora. Na realidade, a taxa pode ter variado dentro de cada intervalo, o que introduz um erro na estimativa. Esse erro depende de quão uniforme foi a variação da taxa de derramamento.

Resposta

A quantidade total estimada de óleo derramado durante as dez horas é de 21,5 × 100 galões, ou seja, 2.150 galões. O erro na estimativa decorre da suposição de que a taxa de derramamento permaneceu constante em cada intervalo de uma hora, podendo haver variações que não foram consideradas nesse cálculo.

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(b) Se , então é um ponto de inflexão de .
Sabendo que
Calcule