Determine as dimensões do retângulo de área máxima, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados e inscritos na elipse

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer a gente encontrar as dimensões do retângulo de área máxima que está inscrito na elipse , com os lados paralelos aos eixos coordenados. Para isso, vamos usar cálculo, especialmente derivadas, para maximizar a área do retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o retângulo dentro da elipse. Se imaginarmos que um dos vértices do retângulo está no ponto , os outros vértices serão , e . Assim, a largura do retângulo é e a altura é .

Passo 3

A área do retângulo é então dada por:
Nosso objetivo é maximizar essa área, considerando que o retângulo está dentro da elipse .

Passo 4

Vamos usar a equação da elipse para relacionar e . A equação pode ser rearranjada para expressar em função de :
Isso nos permite reescrever a área apenas em termos de :

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de que maximiza a área , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função.

Passo 6

Vamos calcular a derivada de :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 7

Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando a equação:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos , vamos encontrar usando a equação da elipse:

Resposta

As dimensões do retângulo de área máxima são:
Portanto, o retângulo de maior área inscrito na elipse tem largura e altura .

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