Determine as dimensões do retângulo de área máxima, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados e inscritos na elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer a gente encontrar as dimensões do retângulo de área máxima que está inscrito na elipse
, com os lados paralelos aos eixos coordenados. Para isso, vamos usar cálculo, especialmente derivadas, para maximizar a área do retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o retângulo dentro da elipse. Se imaginarmos que um dos vértices do retângulo está no ponto
, os outros vértices serão
,
e
. Assim, a largura do retângulo é
e a altura é
.
Passo 3
A área
do retângulo é então dada por:
Nosso objetivo é maximizar essa área, considerando que o retângulo está dentro da elipse
.
Passo 4
Vamos usar a equação da elipse para relacionar
e
. A equação
pode ser rearranjada para expressar
em função de
:
Isso nos permite reescrever a área
apenas em termos de
:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza a área
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função.
Passo 6
Vamos calcular a derivada de
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 7
Igualando
a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando a equação:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação da elipse:
Resposta
As dimensões do retângulo de área máxima são:
Portanto, o retângulo de maior área inscrito na elipse
tem largura
e altura
.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada:
Encontre a derivada:
Encontre a derivada:
Encontre a derivada: