Determine as dimensões do triângulo retângulo A B C com hipotenusa AC = 10 cm, quando sua área é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo retângulo com a hipotenusa medindo cm. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as medidas dos outros dois lados (os catetos) para que a área desse triângulo seja a maior possível. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria sobre triângulos retângulos e como calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo retângulo. A área ( ) é dada por:
Aqui, e são os dois lados que formam o ângulo de .

Passo 3

Sabemos que, em um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras se aplica. Ou seja:
No nosso caso, a hipotenusa é cm, então:

Passo 4

Vamos chamar os catetos de e . Então, a área fica:
E a equação de Pitágoras fica:

Passo 5

Queremos maximizar a área . Vamos expressar em função de usando a equação de Pitágoras:
Substituindo na expressão da área:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza a área, podemos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero. Vamos fazer isso:
A derivada é:
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 7

Agora que temos cm, vamos encontrar usando a equação de Pitágoras:

Resposta

As dimensões do triângulo retângulo que maximiza a área, com hipotenusa de cm, são os dois catetos medindo cm cada um.

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