Determine as dimensões do triângulo retângulo com hipotenusa , quando sua área é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo retângulo com a hipotenusa medindo cm. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as medidas dos outros dois lados (os catetos) para que a área desse triângulo seja a maior possível. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria sobre triângulos retângulos e como calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo retângulo. A área () é dada por:
Aqui, e são os dois lados que formam o ângulo de .
Passo 3
Sabemos que, em um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras se aplica. Ou seja:
No nosso caso, a hipotenusa é cm, então:
Passo 4
Vamos chamar os catetos de e . Então, a área fica:
E a equação de Pitágoras fica:
Passo 5
Queremos maximizar a área . Vamos expressar em função de usando a equação de Pitágoras:
Substituindo na expressão da área:
Passo 6
Para encontrar o valor de que maximiza a área, podemos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero. Vamos fazer isso:
A derivada é:
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 7
Agora que temos cm, vamos encontrar usando a equação de Pitágoras:
Resposta
As dimensões do triângulo retângulo que maximiza a área, com hipotenusa de cm, são os dois catetos medindo cm cada um.