Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função , identificar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, achar os pontos de inflexão e desenhar o gráfico no intervalo de a . Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas do cálculo para analisar variações das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo. Para isso, precisamos da primeira derivada da função. A derivada nos indica a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A derivada da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
A solução para no intervalo é:
Passo 4
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos mostra a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
:
:
:
:
Passo 6
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade. A concavidade para cima acontece quando a segunda derivada é positiva, e para baixo quando é negativa.
(Concavo para cima):
Isso ocorre nos intervalos:
(Concavo para baixo):
Isso ocorre nos intervalos:
Passo 7
Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso acontece onde :
Passo 8
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função no intervalo de a usando as informações que encontramos:
Máximos em e
Mínimos em e
Concavidade para cima em e
Concavidade para baixo em e
Pontos de inflexão em
Resposta
Os pontos de máximo da função são e , e os pontos de mínimo são e .
O gráfico é côncavo para cima nos intervalos e , e côncavo para baixo em e .
Os pontos de inflexão ocorrem em e .
O esboço do gráfico no intervalo de a reflete essas características, mostrando as ondas da função seno com suas respectivas concavidades, máximos, mínimos e pontos de inflexão.