Determine a direção onde
decresce mais rápido no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a direção em que a função
está diminuindo mais rápido no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a direção de maior aumento de uma função em um ponto é dada pelo vetor gradiente nesse ponto. Então, para encontrar a direção de maior diminuição, basta inverter o gradiente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
O vetor gradiente no ponto
é então:
Para encontrar a direção de maior diminuição, pegamos o vetor oposto:
Passo 6
Por fim, vamos normalizar esse vetor para encontrar a direç��o unitária:
Então, a direção de maior diminuição é:
Resposta
A direção em que
decresce mais rápido no ponto
é dada pelo vetor unitário
.
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Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas parciais
e
, onde
,
e
.
A temperatura de chapa de metal é dada por
. A partir do ponto
determine:
a direção em que a temperatura não varia;
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Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a subida?
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