Determine a direção onde f(x, y) = x^4 - x^2 * y^2 decresce mais rápido no ponto (2, -3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a direção em que a função está diminuindo mais rápido no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a direção de maior aumento de uma função em um ponto é dada pelo vetor gradiente nesse ponto. Então, para encontrar a direção de maior diminuição, basta inverter o gradiente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

O vetor gradiente no ponto é então:
Para encontrar a direção de maior diminuição, pegamos o vetor oposto:

Passo 6

Por fim, vamos normalizar esse vetor para encontrar a direç��o unitária:
Então, a direção de maior diminuição é:

Resposta

A direção em que decresce mais rápido no ponto é dada pelo vetor unitário .

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