Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a direção de maior crescimento da função no ponto . Além disso, precisamos determinar a derivada da função nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que é super útil nesse tipo de problema em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . A fórmula do gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é o vetor .

Passo 5

A direção de maior crescimento da função no ponto dado é exatamente na direção do vetor gradiente que encontramos. Então, a direção que procuramos é o vetor .

Passo 6

Para encontrar a derivada da função nessa direção, precisamos calcular a magnitude do vetor gradiente. A magnitude é dada por:

Resposta

A direção de maior crescimento da função no ponto é na direção do vetor , e a derivada da função nessa direção é .

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