Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a direção de maior crescimento da função
no ponto
. Além disso, precisamos determinar a derivada da função nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que é super útil nesse tipo de problema em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
. A fórmula do gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é o vetor
.
Passo 5
A direção de maior crescimento da função no ponto dado é exatamente na direção do vetor gradiente que encontramos. Então, a direção que procuramos é o vetor
.
Passo 6
Para encontrar a derivada da função nessa direção, precisamos calcular a magnitude do vetor gradiente. A magnitude é dada por:
Resposta
A direção de maior crescimento da função no ponto
é na direção do vetor
, e a derivada da função nessa direção é
.