A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura não varia;

Passo 1

Vamos lá! A questão nos dá a função que descreve a temperatura em uma chapa de metal: . A gente precisa encontrar, a partir do ponto , a direção na qual a temperatura não muda. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a direção na qual a temperatura não varia é aquela em que a derivada direcional da temperatura é igual a zero. Isso acontece quando a direção é perpendicular ao gradiente da função .
Então, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

Queremos encontrar uma direção tal que ela seja perpendicular ao gradiente . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:
Podemos escolher para simplificar:
Então, a direção é o vetor .

Resposta

A direção na qual a temperatura não varia a partir do ponto é o vetor .

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Determine a direção onde decresce mais rápido no ponto .
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a subida?
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em .