A temperatura de chapa de metal é dada por
. A partir do ponto
determine:
a direção em que a temperatura não varia;
a direção em que a temperatura não varia;
Passo 1
Vamos lá! A questão nos dá a função que descreve a temperatura em uma chapa de metal:
. A gente precisa encontrar, a partir do ponto
, a direção na qual a temperatura não muda. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a direção na qual a temperatura não varia é aquela em que a derivada direcional da temperatura é igual a zero. Isso acontece quando a direção é perpendicular ao gradiente da função
.
Então, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
Queremos encontrar uma direção
tal que ela seja perpendicular ao gradiente
. Isso significa que o produto escalar entre
e
deve ser zero:
Podemos escolher
para simplificar:
Então, a direção é o vetor
.
Resposta
A direção na qual a temperatura não varia a partir do ponto
é o vetor
.
Exercícios relacionados
Determine a direção onde
decresce mais rápido no ponto
.
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a subida?
Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a subida?
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em
.