Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas parciais
e
, onde
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As funções envolvidas são:
onde:
Vamos usar a Regra da Cadeia para descobrir como
muda quando
e
mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Então, para achar
e
, precisamos derivar
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas nos dizem como
muda se alterar
ou
, mantendo a outra variável constante.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para :
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia para
:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, substituímos
e
pelas suas expressões originais:
Substituindo na equação:
Isso pode ser simplificado ainda mais, mas vamos passar para a derivada em relação a
.
Passo 7
Aplicando a Regra da Cadeia para
:
Substituindo as derivadas:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Novamente, substituindo
e
:
Essa expressão também pode ser simplificada conforme necessário.
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Em qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
Em qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
A temperatura de chapa de metal é dada por
. A partir do ponto
determine:
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
Determine a direção onde
decresce mais rápido no ponto
.