Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas parciais e , onde , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As funções envolvidas são:
onde:
Vamos usar a Regra da Cadeia para descobrir como muda quando e mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , que por sua vez dependem de e . Então, para achar e , precisamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a e .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos dizem como muda se alterar ou , mantendo a outra variável constante.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a e :
Para :
Para :

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia para :
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, substituímos e pelas suas expressões originais:
Substituindo na equação:
Isso pode ser simplificado ainda mais, mas vamos passar para a derivada em relação a .

Passo 7

Aplicando a Regra da Cadeia para :
Substituindo as derivadas:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Novamente, substituindo e :
Essa expressão também pode ser simplificada conforme necessário.

Resposta

As derivadas parciais são:

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Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Em qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
A temperatura de chapa de metal é dada por . A partir do ponto determine:
a direção em que a temperatura cresce o mais rápido possível, assim como essa taxa;
Encontre a direção de maior crescimento da função, a partir do ponto indicado. Além disso, determine a derivada da função nessa direção.
;
Determine a direção onde decresce mais rápido no ponto .