Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a subida?
Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você iniciará a subida?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você está subindo um morro que tem a forma descrita pela equação
. Você está no ponto de coordenadas (60, 100, 764) e quer descobrir qual é o ângulo que você vai iniciar a subida em relação à horizontal. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função que descreve o morro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função. Ele é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais da função
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
No ponto (60, 100), temos:
Então, o gradiente no ponto é
.
Passo 4
Agora, para encontrar o ângulo que você vai subir em relação à horizontal, precisamos pensar na inclinação da superfície. O gradiente nos dá a direção da subida mais íngreme. O ângulo
pode ser encontrado usando a relação entre a magnitude do gradiente e a mudança vertical.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Agora, o ângulo
é tal que:
Então:
Passo 5
Calculando o ângulo:
Isso significa que você vai iniciar a subida com um ângulo de aproximadamente 76 graus acima da horizontal.
Resposta
O ângulo de subida inicial será de aproximadamente
acima da horizontal.
Exercícios relacionados
A temperatura de chapa de metal é dada por
. A partir do ponto
determine:
a direção em que a temperatura não varia;
a direção em que a temperatura não varia;
Determine a direção onde
decresce mais rápido no ponto
.
Ns itens a seguir, determine o valor máximo da derivada direcional e um vetor unitário
na direção derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado:
em
.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar
e
, onde para
temos:
;