Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e também descobrir em que direção essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre derivadas parciais e o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação máxima. Na matemática, a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é a maior velocidade com que a função está mudando naquele ponto. E essa direção é dada pelo vetor gradiente da função naquele ponto. O gradiente é como uma seta que aponta na direção em que a função está aumentando mais rápido.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais calculadas:
Passo 5
A taxa de variação máxima é o comprimento (ou magnitude) do vetor gradiente. Vamos calcular isso usando a fórmula da magnitude de um vetor:
Passo 6
A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é exatamente a direção do vetor gradiente. No nosso caso, o vetor é
. Se quisermos, podemos expressar essa direção como um ângulo ou como um vetor unitário, mas para esse exercício, fica claro que a direção é na direção do vetor
.
Resposta
A taxa de variação máxima da função em
é
e ocorre na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Determine
e
, para
definida implicitamente por:
Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se
, onde
e
, determine
e
.
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
.
Determine as direções em que a derivada direcional de
no ponto (2,0) tem valor 1 .