Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e também descobrir em que direção essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre derivadas parciais e o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação máxima. Na matemática, a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é a maior velocidade com que a função está mudando naquele ponto. E essa direção é dada pelo vetor gradiente da função naquele ponto. O gradiente é como uma seta que aponta na direção em que a função está aumentando mais rápido.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais calculadas:

Passo 5

A taxa de variação máxima é o comprimento (ou magnitude) do vetor gradiente. Vamos calcular isso usando a fórmula da magnitude de um vetor:

Passo 6

A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é exatamente a direção do vetor gradiente. No nosso caso, o vetor é . Se quisermos, podemos expressar essa direção como um ângulo ou como um vetor unitário, mas para esse exercício, fica claro que a direção é na direção do vetor .

Resposta

A taxa de variação máxima da função em é e ocorre na direção do vetor .

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Determine e , para definida implicitamente por:
Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se , onde e , determine e .
Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre. .
Determine as direções em que a derivada direcional de no ponto (2,0) tem valor 1 .