Determine a distância mais curta entre o ponto (2, -2, 3) ao plano 6x + 4y - 3z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a distância mais curta entre o ponto e o plano definido pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano de uma forma que fique mais fácil de aplicar a fórmula da distância. A equação geral de um plano é . Então, nossa equação fica:
Aqui, os coeficientes são:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para calcular a distância de um ponto até um plano :
Essa fórmula basicamente nos dá a “altura” do ponto em relação ao plano, ou seja, a distância mais curta entre eles.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Nosso ponto é , então:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular o numerador primeiro:
Somando tudo:
Como estamos tomando o valor absoluto, .

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador:

Passo 7

Finalmente, substituindo os valores no cálculo da distância:

Resposta

A distância mais curta entre o ponto e o plano é unidades.

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