Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Isso tudo faz parte do estudo de extremos de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabendo que
, temos
, que nunca é zero. Então, a única solução para
é
.
Portanto, os pontos críticos são da forma
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas:
O determinante Hessiano
é dado por:
No ponto crítico
, temos
, então:
Um determinante negativo indica que o ponto é um ponto de sela.
Resposta
A função
não possui valores máximos ou mínimos locais, apenas pontos de sela nos pontos
, onde
é qualquer inteiro.