Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y) = x * sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Isso tudo faz parte do estudo de extremos de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabendo que , temos , que nunca é zero. Então, a única solução para é .
Portanto, os pontos críticos são da forma , onde é qualquer inteiro.

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas:
O determinante Hessiano é dado por:
No ponto crítico , temos , então:
Um determinante negativo indica que o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função não possui valores máximos ou mínimos locais, apenas pontos de sela nos pontos , onde é qualquer inteiro.

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