Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y, z) = 8x - 4z ; x^2 + 10y^2 + z^2 = 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando os Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização. A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição . Para isso, vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição multiplicada por um multiplicador de Lagrange, que chamaremos de . Então, a função de Lagrange fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável ( ) e ao multiplicador , e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
á
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar as expressões que encontramos para :

Passo 5

Sabemos que . Vamos substituir e na equação da restrição:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes a cada valor de :
  • Se :
  • Se :
E como sempre, temos os pontos críticos: e .

Passo 7

Por fim, vamos calcular os valores de nesses pontos:
  • Para :
  • Para :

Resposta

O valor mínimo da função é -20 no ponto e o valor máximo é 20 no ponto .

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