Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando os Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização. A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
. Para isso, vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição multiplicada por um multiplicador de Lagrange, que chamaremos de
. Então, a função de Lagrange fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável (
) e ao multiplicador
, e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar as expressões que encontramos para
:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos substituir
e
na equação da restrição:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes a cada valor de
:
-
Se
: -
Se
:
E como
sempre, temos os pontos críticos:
e
.
Passo 7
Por fim, vamos calcular os valores de
nesses pontos:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
O valor mínimo da função é -20 no ponto
e o valor máximo é 20 no ponto
.