Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y) = x^2 - y^2 ; x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica usada para encontrar os valores máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição. No nosso caso, a função que queremos otimizar é , e a restrição é . Para resolver isso, vamos precisar entender como usar os multiplicadores de Lagrange para levar em conta essa condição que limita os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar com a restrição usando um multiplicador de Lagrange, que geralmente chamamos de . A fórmula geral da Lagrangiana é:
No nosso caso, e . Então, a Lagrangiana fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , e e igualá-las a zero. Ou seja, vamos ter o seguinte sistema de equações:
Calculando cada derivada:

Passo 4

Vamos simplificar e resolver esse sistema de equações:
Analisando as primeiras duas equações:
  • Da equação 1: ou ou
  • Da equação 2: ou ou
Vamos considerar os casos:
Caso 1:
  • Da equação 2:
  • Da equação 3:
Caso 2:
  • Da equação 1:
  • Da equação 3:
Caso 3: e
  • Da equação 3: , o que não satisfaz. Então, esse caso não é válido.
Portanto, os pontos críticos são: , , , e .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nesses pontos para encontrar os valores máximo e mínimo:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

Os valores máximos de são , atingidos nos pontos e . Os valores mínimos são , atingidos nos pontos e .

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