Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica usada para encontrar os valores máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição. No nosso caso, a função que queremos otimizar é
, e a restrição é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar os multiplicadores de Lagrange para levar em conta essa condição que limita os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar com a restrição usando um multiplicador de Lagrange, que geralmente chamamos de
. A fórmula geral da Lagrangiana é:
No nosso caso,
e
. Então, a Lagrangiana fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
e
e igualá-las a zero. Ou seja, vamos ter o seguinte sistema de equações:
Calculando cada derivada:
Passo 4
Vamos simplificar e resolver esse sistema de equações:
Analisando as primeiras duas equações:
- Da equação 1: ou
ou - Da equação 2: ou
ou
Vamos considerar os casos:
Caso 1:
- Da equação 2:
⇒ - Da equação 3:
⇒
Caso 2:
- Da equação 1:
⇒ - Da equação 3:
⇒
Caso 3:
e
- Da equação 3:
, o que não satisfaz. Então, esse caso não é válido.
Portanto, os pontos críticos são:
,
,
, e
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nesses pontos para encontrar os valores máximo e mínimo:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Resposta
Os valores máximos de
são
, atingidos nos pontos
e
. Os valores mínimos são
, atingidos nos pontos
e
.