Use uma translação dos eixos coordenados para eliminar os termos de primeiro grau. 2 x^2+y^2+16 x-4 y+32=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a equação e precisamos fazer uma translação dos eixos coordenados para eliminar os termos de primeiro grau, ou seja, os termos que estão com e sem o quadrado. Isso vai nos ajudar a simplificar a equação e entender melhor o gráfico dela. Para isso, vamos completar o quadrado tanto para quanto para .

Passo 2

Primeiro, vamos separar os termos com 2x^2 + 16x + y^2 - 4y + 32 = 0 e os termos com . A equação fica assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o 2(x^2 + 8x) + y^2 - 4y + 32 = 0. Mas antes, vamos fatorar o coeficiente que está na frente de , que é 2:

Passo 4

Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de 2(x^2 + 8x + 16 - 16) + y^2 - 4y + 32 = 0, que é 8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: 2((x + 4)^2 - 16) + y^2 - 4y + 32 = 0. Então, adicionamos e subtraímos 16 dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 5

Vamos distribuir o 2 novamente:
2(x + 4)^2 - 32 + y^2 - 4y + 32 = 0
Os termos constantes 2(x + 4)^2 + y^2 - 4y = 0 e se cancelam:

Passo 6

Agora, vamos completar o quadrado para o 2(x + 4)^2 + (y^2 - 4y + 4 - 4) = 0. Pegamos o coeficiente de 2(x + 4)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . Adicionamos e subtraímos 4:
Simplificando:

Passo 7

Vamos isolar os termos quadráticos:
2(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 4

Resposta

Após a translação dos eixos, a equação fica:
2(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 4

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