Use uma translação dos eixos coordenados para eliminar os termos de primeiro grau.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a equação
e precisamos fazer uma translação dos eixos coordenados para eliminar os termos de primeiro grau, ou seja, os termos que estão com
e
sem o quadrado. Isso vai nos ajudar a simplificar a equação e entender melhor o gráfico dela. Para isso, vamos completar o quadrado tanto para
quanto para
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar os termos com
e os termos com
. A equação fica assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o
. Mas antes, vamos fatorar o coeficiente que está na frente de
, que é 2:
Passo 4
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é 8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
. Então, adicionamos e subtraímos 16 dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 5
Vamos distribuir o 2 novamente:
Os termos constantes
e
se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos completar o quadrado para o
. Pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
. Adicionamos e subtraímos 4:
Simplificando:
Passo 7
Vamos isolar os termos quadráticos:
Resposta
Após a translação dos eixos, a equação fica: