Use uma translação dos eixos coordenados para a nova origem indicada. x^2+y^2+2 x-6 y+6=0, O^prime=(-1,3)

Passo 1

Então, a gente tem a equação de um círculo: . A missão aqui é mudar a origem dos eixos de coordenados para o ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de translação dos eixos, que basicamente desloca o sistema de coordenadas para uma nova posição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas coordenadas u = x + 1 e v = y - 3 e em relação às antigas e . Como estamos movendo a origem para , a relação fica:
Isso significa que cada ponto no sistema antigo será no novo sistema.

Passo 3

Agora, substituímos (x) = u - 1 e (y) = v + 3 e (u - 1)^2 + (v + 3)^2 + 2(u - 1) - 6(v + 3) + 6 = 0 na equação original pelas expressões em termos de e :
Substituindo na equação do círculo:

Passo 4

Vamos expandir os termos:
(u^2 - 2u + 1) + (v^2 + 6v + 9) + 2u - 2 - 6v - 18 + 6 = 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar combinando termos semelhantes:
u^2 + v^2 + (-2u + 2u) + (6v - 6v) + (1 + 9 - 2 - 18 + 6) = 0
Isso resulta em:
u^2 + v^2 - 10 = 0

Resposta

A equação do círculo com a nova origem u^2 + v^2 = 10 é:

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