Encontre a segunda solução da equação diferencial dada: x^2 y'' - (x - 0.1875) y = 0, x > 0 ; y1(x) = x^(1/4) e^(2 raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo para e já sabemos uma solução dessa equação, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar um método chamado “redução de ordem”, que é super útil quando já conhecemos uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão. A equação que temos é:
Dividindo tudo por x^2 para termos o termo sozinho:
Agora, ela está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Onde, no nosso caso, e .

Passo 3

Como já temos uma solução y1(x), podemos encontrar a segunda solução y2(x) usando a fórmula da redução de ordem:
Mas como , a expressão simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular :
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição: seja , então e . Substituindo:
Integrando:
Voltando para x:

Passo 6

Agora, multiplicamos essa integral pela nossa primeira solução y1(x) para obter y2(x):
Como queremos uma solução linearmente independente, descartamos a constante C e obtemos:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é .

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