Encontre a segunda solução da equação diferencial dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo para e já sabemos uma solução dessa equação, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar um método chamado “redução de ordem”, que é super útil quando já conhecemos uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão. A equação que temos é:
Dividindo tudo por para termos o termo sozinho:
Agora, ela está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Onde, no nosso caso, e .

Passo 3

Como já temos uma solução , podemos encontrar a segunda solução usando a fórmula da redução de ordem:
Mas como , a expressão simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular :
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição: seja , então e . Substituindo:
Integrando:
Voltando para :

Passo 6

Agora, multiplicamos essa integral pela nossa primeira solução para obter :
Como queremos uma solução linearmente independente, descartamos a constante e obtemos:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é .

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