Encontre a segunda solução da equação diferencial dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
para
e já sabemos uma solução dessa equação, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar um método chamado “redução de ordem”, que é super útil quando já conhecemos uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão. A equação que temos é:
Dividindo tudo por
para termos o termo
sozinho:
Agora, ela está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Onde, no nosso caso,
e
.
Passo 3
Como já temos uma solução
, podemos encontrar a segunda solução
usando a fórmula da redução de ordem:
Mas como
, a expressão simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição: seja
, então
e
. Substituindo:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, multiplicamos essa integral pela nossa primeira solução
para obter
:
Como queremos uma solução linearmente independente, descartamos a constante
e obtemos:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é
.
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em
.
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. Determine o ponto mais quente e o ponto mais frio da placa.