Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
c) z = 2 / raiz(4 - 2 x^2 - y^2), P = (1, 1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal ao gráfico da superfície dada no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, mais especificamente a geometria das superfícies no espaço e como encontrar planos tangentes e retas normais a esses planos.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na superfície . Substituindo e na equação da superfície:
Então, está na superfície.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Vamos chamar a função de .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Primeiro, calculamos .
Então:

Passo 7

Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar a equação do plano tangente:

Passo 9

Agora, para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais . No nosso caso, o vetor normal é .

Passo 10

A equação paramétrica da reta normal passando pelo ponto é:
onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:

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