Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal ao gráfico da superfície dada no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, mais especificamente a geometria das superfícies no espaço e como encontrar planos tangentes e retas normais a esses planos.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está na superfície
. Substituindo
e
na equação da superfície:
Então,
está na superfície.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos chamar a função de
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Primeiro, calculamos
.
Então:
Passo 7
Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar a equação do plano tangente:
Passo 9
Agora, para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais
. No nosso caso, o vetor normal é
.
Passo 10
A equação paramétrica da reta normal passando pelo ponto
é:
onde
é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é
e as equações paramétricas da reta normal são: