Determine a distância da origem à curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a distância da origem até a curva definida pela equação
. Isso envolve um pouco de geometria analítica e cálculo, mais especificamente, otimização usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como minimizar a distância sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a distância da origem
até um ponto
é dada por
. Mas, como queremos encontrar a mínima distância, podemos minimizar
para facilitar os cálculos.
Passo 3
Agora, queremos minimizar
sujeito à restrição
. Vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que nos dizem que no mínimo,
.
Passo 4
Calculando os gradientes:
Então, temos as equações:
Além da restrição
.
Passo 5
Vamos dividir as duas primeiras equações para eliminar
:
Simplificando:
Agora, substituímos
na restrição:
Então,
.
Para
:
Então,
.
Passo 6
Agora, calculamos as distâncias:
Para :
Para
Para
:
A menor distância é
.
Resposta
A distância mínima da origem até a curva é
.
Exercícios relacionados
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(6)
(6)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(11)
(11)
Determine os extremos da função
no quadrado
.