Determine a distância da origem à curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a distância da origem até a curva definida pela equação . Isso envolve um pouco de geometria analítica e cálculo, mais especificamente, otimização usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como minimizar a distância sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a distância da origem até um ponto é dada por . Mas, como queremos encontrar a mínima distância, podemos minimizar para facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, queremos minimizar sujeito à restrição . Vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que nos dizem que no mínimo, .

Passo 4

Calculando os gradientes:
Então, temos as equações:
Além da restrição .

Passo 5

Vamos dividir as duas primeiras equações para eliminar :
Simplificando:
Agora, substituímos na restrição:
Então, .
Para :
Então, .

Passo 6

Agora, calculamos as distâncias:
Para :
Para :
A menor distância é .

Resposta

A distância mínima da origem até a curva é .

Exercícios relacionados

Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(6)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(11)
Determine os extremos da função no quadrado .