Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos que encontrar os valores máximos e mínimos da função
sob a condição de que
. Para isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função quando existe uma restrição.
Passo 2
No Método dos Multiplicadores de Lagrange, a gente cria uma nova função chamada Função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador que a gente chama de
. Assim, a função fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável
,
,
e
, e igualar todas elas a zero. Essas derivadas vão nos dar um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver as três primeiras equações para
,
e
:
Isso mostra que
.
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na restrição
:
Passo 6
Com os valores de
, podemos encontrar
,
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores extremos da função
com a restrição
são:
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Calcule os seguintes limites, caso existam:
(6)
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Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Determine a distância da origem à curva
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(11)
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