Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos que encontrar os valores máximos e mínimos da função sob a condição de que . Para isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função quando existe uma restrição.

Passo 2

No Método dos Multiplicadores de Lagrange, a gente cria uma nova função chamada Função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador que a gente chama de . Assim, a função fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável , , e , e igualar todas elas a zero. Essas derivadas vão nos dar um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver as três primeiras equações para , e :
Isso mostra que .

Passo 5

Agora, substituímos , e na restrição :

Passo 6

Com os valores de , podemos encontrar , e :
Para :
Para :

Resposta

Os valores extremos da função com a restrição são:
á
í

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Calcule os seguintes limites, caso existam:
(6)
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Determine a distância da origem à curva .
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(11)