Determine a distância de P=(1,0,-1) a
(a) um plano pi: x+y+z=1;
(b) um plano pi: 2x-y+3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a distância do ponto até dois planos diferentes. Aqui, estamos usando conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde o plano é dado pela equação .

Passo 3

Para encontrar a distância entre o ponto Distância = |a x0 + b y0 + c z0 - d|raiza^2 + b^2 + c^2 e o plano , usamos a seguinte fórmula:
â
Aqui, , e são os coeficientes das variáveis na equação do plano, e é o termo constante.

Passo 4

No nosso caso, a equação do plano pode ser rearranjada para a forma padrão , que fica . Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores e as coordenadas do ponto Distância = |1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot (-1) - (-1)|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |1 + 0 -1 +1|raiz3 = |1|raiz3 = 1raiz3 na fórmula da distância:
â

Passo 6

Simplificando a fração, a distância fica:
Distância = raiz33 â

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b), onde o plano é dado por .

Passo 8

Usando a mesma fórmula da distância, identificamos os coeficientes:
  • (como não há na equação)

Passo 9

Substituindo na fórmula com o ponto Distância = |2 cdot 1 + (-1) cdot 0 + 0 cdot (-1) + 3|raiz2^2 + (-1)^2 + 0^2 = |2 + 0 + 0 + 3|raiz4 + 1 + 0 = 5raiz5 = raiz5 :
â

Resposta

(a) A distância de ao plano é unidades.
(b) A distância de ao plano é unidades.

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