Determine a distância de
a
(a) um plano
;
(b) um plano
.
(a) um plano
(b) um plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a distância do ponto
até dois planos diferentes. Aqui, estamos usando conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde o plano é dado pela equação
.
Passo 3
Para encontrar a distância entre o ponto
e o plano
, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
,
e
são os coeficientes das variáveis na equação do plano, e
é o termo constante.
Passo 4
No nosso caso, a equação do plano
pode ser rearranjada para a forma padrão
, que fica
. Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores e as coordenadas do ponto
na fórmula da distância:
Passo 6
Simplificando a fração, a distância fica:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b), onde o plano é dado por
.
Passo 8
Usando a mesma fórmula da distância, identificamos os coeficientes:
-
-
-
(como não há na equação) -
Passo 9
Substituindo na fórmula com o ponto
:
Resposta
(a) A distância de
ao plano
é
unidades.
(b) A distância de
ao plano
é
unidades.